Примеры решения задач. Доказать, что произвольная функция f (x) интегрируема

1 23

Задача 1. Пусть функция F(x) порождает меру Лебега-Стилтьеса на [ –2, 2 [. Доказать, что произвольная функция f (x) интегрируема на [–2, 2 [ относительно меры и

если F(x)=

Решение. Отметим, что все подмножества интервала [-2,2[ измеримы и поэтому каждая функция f(x), x Î [-2,2[ измерима относительно меры . Представим полуинтервал [-2,2[ в виде объединения непересекающихся множеств [ –2, 2[ = [–2, –1[ Ç {–1} Ç ]–1,1[ Ç {1} Ç ]1,2[.

Множества [-2,1[, ]-1,1[, ]1,2[ имеют меру нуль, так как функция, порождающая меру , на этих множествах постоянна, а тогда каждая функция f (x) интегрируема и интеграл от неё равен нулю.

На множествах {-1} и {1} функция постоянна, а значит, простая. Поэтому

Следовательно, произвольная функция f (x) интегрируема на [-2,2[ и интеграл равен 2f (1)+f (–1). Данная функция будет интегрируема на всей числовой прямой, если

F(x)= тогда

Задача 2. Вычислить интеграл Римана-Стилтьеса

где F(x)=

Решение. Если функция f (x) непрерывна на [a, b], а функция F (x) имеет на [a, b] всюду, кроме конечного числа точек интегрируемую по Риману производную , то существует интеграл Римана-Стилтьеса и

Тогда

Задача 3. Пусть X=[0,1[, S={[a,b[ÌX}, h(x) – некоторая неотрицательная интегрируемая по Риману на отрезке [0,1] функция; Вычислить

Решение. Построим последовательность простых интегрируемых функций, равномерно сходящуюся к Представим так, что По теореме о среднем для интеграла Римана такая, что , т.е. .

Положим для , тогда и равномерно сходится к т.к. при

есть интегральная сумма Римана, построенная для непрерывной функции на отрезке [0,1]. Так как при , , то

Итак,

Задача 4. Пусть на [0,3[ задана мера Лебега–Стилтьеса, порожденная функцией

F(x) =

Проверить, что F не убывает и непрерывна слева. Найти:

1) меру одноточечного множества;

2) промежутки, на которых эта мера совпадает с мерой Лебега;

3) промежутки,имеющие нулевую меру;

4) промежутки, на которых эта мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега;

5) найти меру канторова множества K и меру множества рациональных чисел на [0,3[.

Для функции

f (x) =

вычислить интеграл по мере Лебега – Стилтьеса, порожденной функций F, если он существует.

Решение. Функция F(x) кусочно непрерывна, имеет одну точку разрыва x = , причем что означает непрерывность слева функции F. Остановимся на пунктах 1) – 5).

1) Известно, что для любого xÎ[0,3[ . В нашем случае

2) На промежутке мера Лебега-Стилтьеса совпадает с мерой Лебега.

3) , так как F постоянна.

4) Покажем, что на мера Лебега-Стилтьеса абсолютно непрерывна относительно меры Лебега . Достаточно рассмотреть промежуток Поскольку

то

и, следовательно, – абсолютно непрерывна.

Таким образом, полуинтервал [0,3[ разбивается на четыре части:

и на каждой части мера описана выше.

5) Рассмотрим канторово множество K:

Так как то потому что на промежутках абсолютной непрерывности

Q и .

Для вычисления интеграла построим эквивалентную функцию g(x), которая отличается от f(x) только в точках множества мера которого равна нулю. Пусть

g(x) =

Тогда

Итак,

Задача 5. Определить полную вариацию функций F на указанном отрезке, если:

1) F(x) =

2) F(x) =

Решение. 1) Функция F является монотонной на отрезках

Поэтому функция имеет ограниченное изменение и

2) Рассмотрим произвольное разбиение П отрезка Для этого разбиения

Отсюда следует, что

Кроме того, рассмотрим разбиение В этом случае, поэтому sup т.е. .

Задача 6. Доказать, что функция F(x) = не имеет ограниченного изменения на отрезке .

Решение. Отметим, что функция F имеет неограниченную производную.

Рассмотрим для произвольного натурального числа n разбиение отрезка точками, в которых функция равна поочередно –1 и 1, т.е.

и вычислим сумму модулей приращений функций F на отрезках разбиения

Поскольку ряд расходящийся, то последовательность его частичных сумм не ограничена сверху, т.е. Следовательно, функция F не имеет ограниченного изменения.