Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана

Для простоты рассмотрим эту связь в одномерном случае.

Теорема 1.Если для функции, заданной на [a,b], существует собственный интеграл Римана , то она интегрируема и по Лебегу и её интеграл Лебега равен интегралу Римана.

Теорема 2.Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция, была интегрируема по Риману на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы множестве её точек разрыва имело меру нуль.

Из этой теоремы, в частности, следует теорема об интегрируемости по Риману монотонной функции (так как множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно).

Пусть функция f неограничена на полуинтервале [a,b[ и интегрируема по Риману на любом промежутке [a,b-e]. В этом случае речь идёт о несобственном интеграле Римана

если предел существует и конечен. Несобственный интеграл Римана называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема 3.Для абсолютной сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы f была интегрируемой по Лебегу на [a,b]. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство .

Рассмотрим интегрирование по множеству бесконечной меры. Пусть функция определена на промежутке [a,+¥[ и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,b]. Тогда несобственный интеграл Римана по промежутку [a,+¥[ определяется как предел

Если предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся; его называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема 4.Для абсолютной сходимости несобственного интеграла Римана необходимо и достаточно, чтобы функция f была интегрируема по Лебегу на [a,+¥[. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство .

Примеры решения задач

Задача 1. Выяснить, интегрируемы ли по Лебегу на отрезке [0; 1] следующие функции:

1) , если , ;

2) , .

Решение.1) Функция является неограниченной, поэтому по Риману она не интегрируема. f измерима, так как принимает счётное число значений на измеримых множествах , и является простой. Для интегрируемости функции f необходимо, чтобы ряд

сходился абсолютно. Но ряд расходится, поэтому f не интегрируема по Лебегу.

2) Рассматриваемая функция также является простой, принимающей три значения: 1, -1 и 0. А именно: на множестве , на и на . Множества открыты, а поэтому измеримы. Кроме того

Счётное множество также измеримо и . Поэтому

Задача 2. Интегрируема ли по Риману, по Лебегу функция , если да, то вычислить интеграл.

Решение.Функция не интегрируема по Риману, так как она разрывна в каждой точке, за исключением точек , , то есть мера её точек разрыва не меньше 1. Действительно, для ÈQ и такие, что и , но , а , при этом , то есть интервал ]0,1[ – подмножество множества точек разрыва функции.

Выясним, интегрируема ли функция по Лебегу. Так как эквивалентные функции интегрируемы или неинтегрируемы одновременно и их интегралы совпадают, заменим f на эквивалентную функцию

, ,

( , так как ).

Функция непрерывна и интегрируема по Риману, а значит и по Лебегу и имеет место равенство

Задача 3. Вычислить интеграл Лебега от функции ,

где – канторово множество, – его дополнение.

Решение.Функция эквивалентна на отрезке [0; 1] функции

так как . Поэтому

Задача 4. Вычислить интеграл Лебега от функции на отрезке [0; 1], если в точках канторова множества, а на смежных интервалах графиком функции служат треугольники, опирающиеся на эти интервалы, как на основания, высоты 1.

Решение.Воспользуемся аддитивностью интеграла Лебега и представим интеграл в виде суммы двух интегралов: первый по канторову множеству, он будет равен нулю, так как , а второй – по его дополнению.

; , ; ;

и так далее.

Следовательно, .

На каждом функция непрерывна и поэтому интегрируема по Риману. Интеграл Римана равен площади треугольника значит,

Задача 5. При каких значениях параметров и функция , xÎ]0,1[

1) интегрируема по Лебегу,

2) несобственно интегрируема по Риману.

Решение.Неограниченная на отрезке [a;b] функция интегрируема по Лебегу в том случае, когда она абсолютно интегрируема по Риману в несобственном смысле.

1 случай: .

Данный интеграл сходится абсолютно, если . Действительно, подынтегральная функция по модулю эквивалентна , следовательно , то есть .

Итак, при функция интегрируема по Лебегу при .

Для интегрируемости по Риману необходимо, чтобы интеграл сходился условно. Используя признак Дирихле, получаем

, следовательно .

2 случай: .

Интеграл сходится абсолютно, если , то есть . Следовательно, при функция интегрируема по Лебегу, если . Для интегрируемости по Риману необходимо, чтобы , следовательно .

Итак, функция интегрируема по Лебегу при ( ) и ( ); по Риману при .

Задача 6. Вычислить интеграл Лебега по интервалу ]0,+¥[ от функции .

Решение.Интервал ]0,+¥[ – пространство с s-конечной мерой, так как и m [k, k+1[ = 1 < +¥. На каждом полуинтервале [k, k+1[ функция является простой, так как при x Î [k, k+1[.

Задача 7. Исходя из определения интеграла Лебега, вычислить

где – характеристическая функция множества .

Решение.Построим для измеримой функции , последовательность простых интегрируемых функций, равномерно сходящуюся на [0; 1] к . А именно, для положим на множестве , . Тогда последовательность является искомой. Кроме того, поскольку , то для . Следовательно, последовательность равномерно сходится к .

так как и поскольку множество рациональных чисел имеет меру нуль.

Задача 8. Найти предел

Решение.Рассмотрим функциональную последовательность

, , .

Для каждого

Кроме того, эта функциональная последовательность имеет мажоранту

, .

Неотрицательная функция g интегрируема по Риману в несобственном смысле, поэтому она интегрируема по Лебегу. Следовательно, по теореме Лебега f также интегрируема по Лебегу на R и справедливо равенство

Задание 1. Выяснить, интегрируема ли по Риману, по Лебегу на отрезке [0; 1] функция f, если да, то вычислить интеграл Лебега.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

Задание 2. Для заданной функции на отрезке [-1; 2]

1) выяснить, является ли она ограниченной;

2) найти множество точек разрыва;

3) выяснить, существует ли для неё собственный или несобственный интеграл Римана;

4) вычислить интеграл Лебега, если он существует, воспользовавшись подходящей заменой на эквивалентную, имеющую меньшее множество точек разрыва.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

Задание 3. Для заданной последовательности функций , определённых на множестве X, выяснить, какие из теорем о предельном переходе применимы. Найти и сравнить: