Задачи, приводящие к двойным интегралам. Определение двойного интеграла

Задача об объеме цилиндроида.Рассмотрим тело с основанием , лежащим в плоскости , ограниченное поверхностью и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит граница области . Это тело называется цилиндроидом (цилиндрическим брусом, или общим цилиндром). Требуется вычислить объем цилиндроида.

Чтобы решить задачу, область разобьем произвольным образом на частей , площади которых также обозначим через соответственно. В каждой из элементарных областей ( ) выберем произвольную точку и значение функции в этой точке умножим на площадь области . Это произведение равно объему цилиндрического тела с площадью основания и высотой . Составим сумму всех таких произведений:

.

Эта сумма выражает объем ступенчатого цилиндрического тела, приближенно заменяющего данный цилиндроид,

.

Обозначим диаметр элементарной области через , то есть наибольшее расстояние между точками, лежащими на границе области, а наибольший из этих диаметров — через . Очевидно, если , то .Объемом общего цилиндра является предел объема соответствующего ступенчатого тела при :

.

Задача о массе пластинки. Рассмотрим область плоскости , ограниченную замкнутой линией, в которой распределено вещество с плотностью . Такую область называют пластинкой. Вычислим массу пластинки, предположив известной функцию .

Область произвольным образом разобьем на области , площади которых обозначим теми же символами. Предположим, что в каждой элементарной области плотность постоянна и равна плотности в некоторой точке этой области, т. е. . Тогда произведение выражает приближенную массу элементарной пластинки , а сумма всех таких произведений — приближенную массу всей пластинки, т. е.

.

Точное значение массы всей пластинки получим, перейдя к пределу при , где — наибольший из диаметров области :

.

Обе задачи привели к необходимости рассмотрения двумерной интегральной суммы

для функции по области и ее предела при .

Определение. Число называется пределом интегральной суммы при , если для любого числа можно указать такое число , что при выполняется неравенство

независимо от выбора точек в элементарных областях .

Определение.Двойным интегралом от функции по области называется предел ее интегральной суммы при , если он существует и не зависит от способа разбиения области и выбора точек :

.

При этом функция называется подынтегральной функцией, а область — областью интегрирования.

Двойной интеграл от функции по области обозначается также следующим образом:

.

Отметим без доказательства, что предел интегральной суммы существует, если функция непрерывна в замкнутой области, имеющей площадь. Если предел интегральной суммы существует, то функция называется интегрируемой в области . Следовательно, все непрерывные функции являются интегрируемыми, среди разрывных функций имеются интегрируемые и неинтегрируемые.

Из решения задач, рассмотренных выше, следует геометрический и физический смысл двойного интеграла:

1. Геометрический смысл: двойной интеграл от функции r по области равен объему цилиндроида с основанием , который ограничен сверху поверхностью

.

2. Физический смысл двойного интеграла: если неотрицательная функция выражает поверхностную плотность пластинки , то ее масса равна двойному интегралу от данной функции по данной области

.