ЛЕКЦИЯ16 модели вытеснения несмешивающихся жидкостей

Наиболее разработана теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде. Ее основные допущения:

жидкости предполагаются несмешивающимися (взаимно нерастворимыми;

жидкости считаются несжимаемыми, а пористая среда – недеформируемой; фазовые переходы отсутствуют; коэффициенты вязкости фаз постоянны;

относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление являются известными однозначными функциями насыщенности;

гистерезисные явления не учитываются (рассматриваются только однонаправленные процессы).

Основываясь на этих допущениях, выводится полная система уравнений двухфазной фильтрации в однородной пористой среде с учетом капиллярных и гравитационных сил.

В случае прямолинейно-параллельного течения вдоль оси х (рисунок 16.1) уравнения неразрывности (15.9) для фаз имеют вид:

, . (16.1)

Обобщенный закон Дарси (15.10) сводится к уравнениям:

, (16.2)

. (16.3)

Здесь a – угол наклона оси х к горизонту (рисунок 16.1); r₁ и r₂ – плотности фаз.

Неизвестные характеристики течения s, u₁, u₂, p₁ и p₂ зависят от координаты и времени.

Рисунок 16.1 – Схема одномерной двухфазной фильтрации с учётом силы тяжести

Уравнения (16.1), (16.2) и (16.3) с учетом (15.11) образуют замкнутую систему для случаев линейного течения, являющуюся основой для решения задач вытеснения одной жидкости другой. Характерной особенностью данной системы является то, что её можно свести к одному уравнению для насыщенности. Знание распределения насыщенности в пласте позволяет проанализировать эффективность вытеснения нефти или газа несмешивающейся с ней жидкостью.

Данное уравнение представляет собой сложное нелинейное уравнение параболического типа второго порядка. Точное решение этого уравнения получено лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев. Получены инвариантные решения (типа волны, движущейся с постоянной скоростью, и автомодельные), а также некоторые численные решения на вычислительных машинах.

При решении конкретных задач для уравнения изменения насыщенности должны быть сформулированы соответствующие граничные и начальные условия. В качестве начального условия задаются значения неизвестной функции s в зависимости от пространственных координат при t = 0. Можно считать, что при t = 0 насыщенность всюду постоянна (например, s = s_*).

В случае вытеснения нефти водой естественно задать на входе в пласт (нагнетательная скважина или галерея) расход закачиваемой воды и равенство нулю скорости фильтрации нефти. Из последнего условия в соответствии с формулой (6.3) вытекает, что k₂ = 0, следовательно, на этой поверхности s = s_*.

На выходе из пласта возможно два варианта граничных условий.

1. Можно пренебречь градиентом капиллярного давления по сравнению с градиентом давления в фазах, т. е. считать, что при x = L, откуда следует, что:

при x = L. (16.4)

2. Экспериментально установлено, что вода не вытекает из гидрофильного пласта, а накапливается в выходном сечении, пока её насыщенность не достигнет значения s*. В момент достижения значения s*вода прорывается из пласта с сохранением на выходе этого значения насыщенности. Это явление получило название концевого эффекта. Математически оно приводится к сложному нелинейному граничному условию на выходе.

Остановимся на двух наиболее изученных моделях двухфазной фильтрации.

Модель Баклея – Леверетта.Без учета капиллярных сил двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом в 1942 г., а позже независимо от них А. М. Пирвердяном, исследовавшим также случай более общего закона фильтрации при двухфазном течении.

Уравнение насыщенности задач данного типа принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка, которые обычно решаются методом характеристик и имеют свои существенные особенности, при решении по сравнению с параболическими уравнениями.

В случае одномерного (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального) течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением, а также влиянием силы тяжести, процесс вытеснения изучен достаточно полно.

В рассматриваемом случае важное значение имеет так называемая функция Баклея – Леверетта (рисунок 16.2) или функция распределения потоков фаз f(s), которая имеет простой физический смысл. Она представляет собой отношение скорости фильтрации вытесняющей фазы к суммарной скорости и равна объемной доле потока вытесняющей жидкости (воды) в суммарном потоке двух фаз. Таким образом, функция Баклея – Лаверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения нефтегазонасыщенности по пласту.

Задачи повышения нефте - и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые, в конечном счете изменяют вид функции f (s) в направлении увеличения полноты вытеснения.

Вид кривых функции f(s) и ее производнойпоказан на рисунке 16.2. С ростом насыщенности f (s) монотонно возрастает от 0 до 1. Характерной особенностью графика f (s) является наличие точки перегиба насыщенности s_п, а также участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная от^//(s) соответственно больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея – Леверетта.

Зависимость функций f(s) и ее производной от отношения вязкостей фаз (воды и нефти) m₀=m₁ / m₂ показана рисунке 16.3. Из данного рисунка следует, что с ростом отношения вязкостей кривая f(s) сдвигается вправо и эффективность вытеснения возрастает. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость нагнетаемой воды, может значительно увеличить нефтеотдачу.

Физической особенностью модели двухфазного вытеснения Баклея – Леверетта является зависимость скорости распространения того или иного значения насыщенности от величины этой насыщенности (дисперсия волн). При 0 £s £s_п большие насыщенности распространяются с большими скоростями, а при s_п < s £1 скорость распространения постоянного значения насыщенности начинает уменьшаться.

Рисунок 16.2 – Вид функции Баклея – Леверетта и её производной

Рисунок 16.3 – Графики функции Баклея – Леверетта (а) и её производной (b) для различных отношений вязкости

Поэтому, начиная с некоторого момента времени, распределение насыщенности оказывается многозначным (рисунок 16.4, кривая 1 –2 –3 – 4 – 5). На этом участке одному и тому же значению х соответствуют три значения насыщенности s₁, s₂и s₃. Это физически невозможно, так как в каждом сечении пласта может существовать только одна насыщенность. Данная неоднозначность устраняется введением скачка насыщенности (рисунок 16.4, отрезок 1 – 3 – 5). Скорость распространения скачка при этом равна скорости распространения насыщенности.

В действительности математический скачок насыщенности не имеет места. Он появляется в решении вследствие пренебрежения капиллярными силами, за счет которых появляется некоторая «переходная зона» вблизи фронта вытеснения, в которой насыщенность изменяется непрерывно.

Рисунок 16.4 – Устранение многозначности распределения насыщенности введением скачка

Решения задачи о вытеснении нефти (или газа) водой, в рамках модели Баклея – Леверетта, применяются при оценочных инженерных расчетах параметров разработки с использованием процесса заводнения.

В общем случае неодномерного вытеснения, а также при учете сжимаемости одной из фаз рассмотренная задача уже не сводится к одному уравнению для насыщенности. Необходимо совместно определять давление и насыщенность. Могут быть получены численные решения таких задач.

Модель Рапопорта – Лиса. Уравнение для насыщенности было впервые получено в 1953 г. американскими исследователями Л. Рапопортом и В. Лисом. Поэтому модели двухфазной фильтрации с учетом капиллярных эффектов называют обычно моделями Рапопорта – Лиса.

Дифференциальное уравнение для насыщенности в данной модели является уравнением параболического типа и решается разностным методом.

Таким образом, учет капиллярного скачка давления р_к, который задается в виде известной эмпирической функции насыщенностей, приводит к теории следующего приближения в модели Рапопорта – Лиса. Действие капиллярных сил проявляется в основном вблизи фронта вытеснения, где градиенты насыщенности велики. Эти силы приводят к «размазыванию» фронта, поэтому при учете капиллярных сил скачок насыщенности отсутствует и насыщенность изменяется непрерывно (рисунок 16.5).

Рисунок 16.5 – Распределение насыщенности

в стабилизированной зоне

Экспериментально обнаружено существование стабилизированной зоны насыщенности, которая перемещается, не изменяя своей формы. Распределение насыщенности в ней при постоянной скорости вытеснения стационарно. В теории Баклея – Лаверетта стабилизированная зона моделируется скачком. Модель Рапопорта – Лиса позволяет определить ширину стабилизированной зоны насыщенности (рисунок 16.5).