Формы реализации рекурсивных фильтров

Рекурсивные фильтры осуществляют обработку сигналов в соответствии с разностным уравнением и основными формами реализации фильтров являются: прямая (рис. 9.3), каноническая (рис. 9.4), каскадная (рис. 9.6) и параллельная (рис. 9.7).

РФ порядка выше второго (по числу полюсов N) реализуется, чаще всего, путем последовательного или параллельного соединения базовых звеньев второго порядка, что соответствует каскадной и параллельной формам реализации. Базовые звенья РФ выполняются в соответствии с прямой или канонической формами реализации РФ, (рис. 9.5).

Рис. 9.5 Биквадратное звено

Число последовательных или параллельных звеньев k при четном порядке фильтра N находится как k = , а при нечетном – как k = , при этом одно звено фильтра является звеном первого порядка для него (a₂=0, b₂=0).

Передаточная функция каскадной структуры РФ, (рис. 9.6) определяется как произведение передаточных функций всех звеньев.

Рис. 9.6 Каскадная структура РЦФ

(9.9)

Здесь H_i(z) - передаточная функция i-го биквадратного звена (т.е звена второго порядка) при b_оi = 1;

C₀ – масштабирующий или нормирующий множитель. Входным сигналом i-го звена x_i(n) в такой структуре является выходной сигнал y_i-1(n) предыдущего звена: x_i(n) = y_i-1(n).

Последовательная форма реализации ЦФ часто используется на практике, поскольку она позволяет ослабить нежелательные эффекты, связанные с ошибками округления и коэффициенты получаются более однородные [4].

Коэффициенты звеньев РФ могут быть найдены через полюсы и нули передаточной функции следующим образом:

(9.10)

Пары нулей и полюсов, определяющие значения коэффициентов i-го звена могут быть вещественными разными, равными, а при (b_1i² – 4b_2i) < 0 и (a_1i² – 4a_2i) < 0 – комплексно-сопряженными

В этом случае соотношения (9.10) примут вид:

(9.11)

где Ω_оi = ω_оiТ_д, Ω_pi = ω_piТ_д – нормированные частоты нулей и полюсов.

В случае звена первого порядка a₁ = -z_pi, b₁ = -z_оi.

Передаточная функция при параллельной форме реализации РФ (рис. 9.7) определяется суммой передаточных функций звеньев H_i(z), а также константы C₀.

(9.12)

Рис. 9.7 Параллельная структура РЦФ

Для звена первого порядка коэффициенты b_1i = 0, a_2i = 0.

Выходной сигнал фильтра будет определятся как сумма выходных сигналов всех звеньев:

Передаточная функция, для этой структуры РФ, получается разложением на простые дроби передаточной функции фильтра, представленной в полиномиальной или нуль-полюсной форме. А порядок числителя передаточной функции звеньев параллельной структуры H_i(z) (9.12) на единицу меньше порядка знаменателя этой функции. Коэффициенты a_1i и a_2i в формуле (9.12) определяются по тем же соотношениям, что и для каскадной формы реализации. Коэффициенты b_оi и b_1i связаны с нулями и полюсами фильтра через вычеты его передаточной функции в полиномиальной или нуль-полюсной форме, вычисляемых в полюсах передаточной функции z_pi:

(9.13)

А в случае комплексно-сопряженных полюсов z_p1i= = z_pi выражение (9.13) преобразуется к виду:

(9.14)

Сами вычеты в полюсах z_pi могут быть найдены следующим образом:

i = 1, 2, …, N

Коэффициент C₀ в выражении для передаточной функции связан с нулями и полюсами фильтра и может быть определен так .

Однако коэффициенты C_o, b_oi, b_1i могут быть выражены через коэффициенты каскадной формы реализации ЦФ, которые связаны с полюсами и нулями фильтра более простой зависимостью. Остальные формы реализации используются реже, и с ними можно познакомиться в соответствующей литературе [1, 2].