Математическое представление модели «черного ящика»

При математическом моделировании некоторого процесса его конкретная реализация представляется в виде соответствия элементов различных множеств. Например, множество входных воздействие Х включает возможные значения элементов х, а упорядоченное множество Т состоит из моментов времени t. Тогда их взаимное отображение формализуется так:

Изменения множества Х происходит во множестве Т.

Элементы х зависят от t и принадлежат множеству Х^Т (другими словами: множество Х существует во множестве Т, где время может принадлежать только множеству Т).

Конкретизируем эту запись применительно к динамической модели «черного ящика», показанной на рис. 1.8.

Рис. 1.8 Динамическая модель «черного ящика»: задание процессов на входах и выходах системы

Здесь выход(ы) y(t) системы можно рассматривать как ее реакцию на управляемые параметры u(t) и неуправляемые параметры v(t) со стороны входов x(t) = { u(t), v(t) }. В результате, модель «черного ящика» выражается как совокупность двух процессов: и .

Х^Т – входное множество Х в рамках временного множества Т.

Y^Т – выходное множество Y в рамках временного множества Т.

Если даже считать y(t) результатом некоторого преобразования Ф процесса x(t) т.е. y(t) = Ф(x(t)) то предполагается, что при описании модели «черного ящика» это преобразование неизвестно.

В том же случае, когда мы имеем дело с «белым ящиком» соответствие между входом и выходом можно описать тем или иным способом, зависящим от того, что нам известно, и в какой форме можно использовать эти знания.

Состояние динамической системы. В наиболее общей модели вводится также понятие состояние системы как некоторой внутренней характеристики системы, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины. Состояние системы можно рассматривать как своего рода хранилище информации, необходимой для предсказания влияния настоящего на будущее. Обозначим его через z(t). Сказанное выше означает существование такого отображения h что y(t)=h(t,z(t)), ,

z(t) принадлежит множеству состояний Z.

Явная зависимость h от t введена для учета возможности изменения выхода от состояния с течением времени. Это отображение называется отображением выхода.

Состояние выхода в момент t определяется состоянием системы в момент t через отображение h.

Для завершения построения модели нужно описать связь между входом и состоянием, т.е. ввести параметрическое семейство отображений , заданных для всех значений параметров t Т, t Т и t £ t. это означает принятие аксиомы о том, что состояние в любой момент t > t однозначно определяется состоянием Z_t в момент t и отрезком реализации входа х(.) от t до t:

– функционал преобразования входа (в момент t)

– семейство отображений входа

Такое отображение называют переходным отображением.

Итак, математическая модель системы, соответствующая уровню «белого ящика», – это задание множеств входов, состояний, выходов и связей между ними:

Конкретизируя множества X, Y и Z и отобра­жения s и , можно перейти к моделям различных систем и предложить их классификацию.

1. Дискретные и непрерывные по времени системы оцениваются в зависимости от того, дискретно или непрерывно множество Т.

2. Конечные автоматы имеют множества X, Z, и Y с конечным числом элементов.

3. Линейным системам соответствуют линейные пространства множеств X, Z, и Y и линейные операторы преобразований.

4. Если ввести дополнительные требования непрерывности, приходим к так называемым гладким системам, которые можно описывать на основе дифференциальных уравнений.

5. Стационарные системы – класс гладких систем, не изменяющихся во времени (т.е. находящихся в состоянии функционирования, но не развития – цель постоянна).

Важным свойством моделей динамических систем является их подчиненность принципу причинности. Согласно этому принципу отклик системы на некоторое воздействие не может начаться раньше самого воздействия. Это условие, очевидное для реальных систем, совсем не автоматически выполняется в рамках их математических моделей. При этом модель, в которой нарушается принцип причинности, не обязательно является «плохой», бесполезной. Примером служит модель фильтра с конечной полосой пропускания. Отклик такой системы на единичный короткий импульс имеет вид sinw₀t/(w₀t), т.е. начинается в минус бесконечности. Несмотря на явное нарушение принципа причинности такая модель широко используется в радиотехнике. Однако, как только возникает вопрос о практической реализации такого фильтра становится ясно, что она невозможна в точном смысле, хотя допустимы различные приближения. В связи с этим одна из проблем теории динамических систем состоит в выяснении условий физической реализуемости теоретических моделей. Последнее приводит к необходимости введения различных ограниче­ний.

Типы моделей систем. При всем невообразимом многообразии реальных систем принципиально различных типов моделей систем очень немного: «черный ящик», модель состава, модель структуры, структурная схема системы («белый ящик»).

Рис. 1.9 Типы моделей систем

Можно сказать, что структурная схема («белый ящик») получается как результат «суммирования» моделей «черного ящика», состава и структуры системы. Все указанные типы моделей являются формальными, относящимися к любым системам и, следовательно, не относящимися ни к одной конкретной системе. Чтобы получить модель заданной системы, нужно придать формальной модели конкретное содержание, т.е. решить, какие аспекты реальной системы включать как элементы модели, а какие – нет. Этот процесс весьма трудно формализовать, и как результат, построение содержательных моделей является процессом интеллектуальным, творческим. Тем не менее, интуиции эксперта, разрабатывающего содержательную модель, немало помогают формальная модель и рекомендации по ее наполнению конкретным содержанием. Формальная модель является «окном», через которое эксперт смотрит на реальную систему, строя содержательную модель. В этом процессе главной является задача создания полной модели, используя нижеследующие рекомендации:

· необходимо учесть все существенные факторы, влияющие на рассматриваемое явление; поскольку существенность не всегда очевидна, лучше включить в модель несущественный элемент, чем не включить существенный;

· наличие противоречивых элементов – один из признаков полноты модели (например, при перечислении выходов надо включить в перечень не только желательные выходы, но и нежелательные – «паразитные»);

· реальность богаче моделей, и в ней всегда есть неизвестные факторы; поэтому вопрос о дополнении модели еще одним элементом всегда актуален.