Изохорный, изобарный, изотермический процессы

Изохорный процесс. Процессы, протекающие при постоянном объеме рабочего тела, называются изохорными процессами. Линию, изображающую изохорный процесс
(рис. 4.1), называют изохорой. Уравнение изохорного процесса в координатах p, u

u = const или du = 0.

График процесса в координатах p, u: вертикаль 1-2 или 1-3. 1-2 - подвод теплоты, 1-3 - отвод теплоты.

Зависимость между параметрами получим из уравнений состояния для состояний 1 и 2:

p₂u = RT₂ и p₁u= RT₁.

Относя эти уравнения друг к другу, получим

. (4.1)

Уравнение (4.1) представляет собой закон Шарля, согласно которому: в изохорном процессе отношение давлений прямо пропорционально отношению абсолютных температур.

Изменение внутренней энергии Du = u₂ - u₁ = c_u(T₂ - T₁). Работа изменения объема , т.к. du= 0. Техническая работа в процессе 1-2 , в процессе 1-3 . Количество тепла q_u= Du = c_u(T₂ - T₁), т.к. l = 0, т.е. в изохорном процессе все тепло, сообщаемое рабочему телу, идет на увеличение его внутренней энергии.

Изменение энтропии в процессе найдем по уравнению второго закона термодинамики:

(4.2)

или . (4.3)

Эта формула показывает, что изохора в осях Т, s (рис. 4.2) будет логарифмической кривой, 1-2 - подвод тепла, 1-3 - отвод тепла.

Вид и особенности изохоры могут быть установлены при рассмотрении ее углового коэффициента

.

Из уравнения (4.2) получим , откуда .(4.4)

Как видим из уравнения (4.4), угловой коэффициент изохоры возрастает по мере увеличения температуры газа. Это значит, что изохора своей выпуклостью обращена в сторону оси абсцисс.

Изобарный процесс. Процессы, протекающие при постоянном давлении рабочего тела, называются изобарными процессами. Линия, изображающая изобарный процесс, называется изобарой. Уравнение изобарного процесса в координатах p, u

p = const или dp = 0.

График процесса (рис. 4.3) - горизонталь
1-2 или 1-3. 1-2 - расширение (подвод тепла), 1-3 - сжатие (отвод тепла). Найдем соотношение параметров. Относя уравнение состояния pu₂ = RT₂ к pu₁ = RT₁ , получим

. (4.5)

Уравнение (4.5) представляет закон Гей-Люссака, согласно которому: в изобарном процессе отношение объемов газа прямо пропорционально отношению абсолютных температур.

Изменение внутренней энергии Du = c_u(T₂ -T₁).

Работа изменения объема

.

Техническая работа , т.к. dp = 0.

Количество тепла, участвующего в процессе:

q_p = c_p (T₂ - T₁) = h₂ - h₁ . (4.6)

Равенство (4.6) вытекает из уравнения (2.23). Следовательно, в изобарном процессе количество подведенного или отведенного тепла равно изменению энтальпии рабочего тела.

Изменение энтропии (4.7)

или в интегральной форме . (4.8)

Это уравнение показывает, что изобара в осях T, s будет логарифмической кривой, направленной выпуклостью вниз (рис. 4.4).

1-2 - подвод тепла (расширение);

1-3- отвод тепла (сжатие).

Угловой коэффициент изобары (по аналогии с изохорой)

.

Сравнение угловых коэффициентов изохоры и изобары

и показывает, что изобары являются более пологими кривыми, чем изохоры, т.к. c_p > c_u.

Изотермический процесс. Процессы, протекающие при постоянной температуре рабочего тела, называются изотермическими процессами. Линия, изображающая изотермический процесс, называется изотермой. Условие совершения изотермического процесса Т = const или dT = 0.

Уравнение изотермического процесса в осях P, u может быть получено из уравнения состояния Pu = RT = const. Т.к. T = const и R = const для данного газа, то получаем

Pu = const. (4.9)

Уравнение изотермы (4.9) выражает закон Бойля-Мариотта, согласно которому: при постоянной температуре отношение объемов рабочего тела обратно пропорционально отношению давлений.

Графиком этого процесса в координатах P, u (рис. 4.5) будет равнобокая гипербола.

1-2- расширение (подвод тепла), 1-3-сжатие (отвод тепла). Из уравнения изотермы (4.9) получаем связь между параметрами:

. (4.10)

Изменение внутренней энергии

du = c_udT = 0, т.к. dT = 0.

Вследствие этого изменение энтальпии также равно нулю:

dh = c_pdT = 0 и Dh = 0.

Работа изменения объема найдется по выражению

. (4.11)

Техническая работа

. (4.12)

Следовательно, в изотермическом процессе l = l¢.

Так как Du = 0, то, согласно первому закону термодинамики:

q_т = l_т,

тогда . (4.13)

Если говорить о теплоемкости в изотермическом процессе, то надо полагать, что с_т = ¥, т.к. при подводе тепла температура рабочего тела не меняется.

Изотерма в осях Т, s изобразится горизонтальной линией (рис. 4.6).

1-2 - расширение (подвод тепла),
1-3 - сжатие (отвод тепла).

Изменение энтропии найдется по выражению

(4.14)

Откуда q = TDs_т (4.15)

Адиабатный процесс

Процессы, протекающие без теплообмена рабочего тела с окружающей средой, называются адиабатными процессами (dq = 0 и q =0). Линия, изображающая адиабатный процесс, называется адиабатой.

Для вывода уравнения адиабатного процесса используем уравнения первого закона термодинамики (2.24) и (2.16)

c_pdT -udp = 0

c_udT + pdu= 0,

откуда или , отсюда кpdu = - udp. (a)

Левую и правую часть уравнения (а) разделим на pu и запишем

. (в)

Проинтегрировав уравнение (в), получим

к lnu+ lnp = const,

или ln pu^к = const.

Если логарифм какой-то величины const, то и сама величина будет const. Отсюда получаем уравнение адиабаты

pu^к = const. (4.16)

Из аналитической геометрии известно, что уравнение (4.16) является уравнением неравнобокой гиперболы (рис. 4.7). На рисунке 1-2 - расширение, 1-3 - сжатие.

На рисунке для сравнения изображена также изотерма. Т.к. к > 1, поэтому адиабата проходит всегда круче, чем изотерма. Найдем соотношения между параметрами в адиабатном процессе:

а) p = f(u). Из уравнения адиабаты
p₁u₁^к = p₂u₂^к. Следовательно,

или ; (4.17)

б) Т = f(u). Записав уравнение состояния в виде p = RT/u, подставим его в уравнение адиабаты (4.16) и получим RТu^к/u = const. Поскольку R для данного газа const, то, поделив на R последнее уравнение в его правой части, получим новую const.

Tu^к-1 = const. (4.18)

Из уравнения (4.18) получим ; (4.19)

в) T = f(p). Записав уравнение состояния в виде u = RT/p, подставим его в уравнение адиабаты (4.16) и получим R^кT^кp/p^к = const. Поделив это уравнение на R^к, получим Т^кр^1-к = const. Извлекая корень к-й степени, получаем . Откуда или . (4.20)

Изменение внутренней энергии Du = c_u(T₂ - T₁).

Работу изменения объема найдем из уравнения первого закона термодинамики du + dl = 0, отсюда dl = - du,

или l = - (u₂ - u₁) - u₁ - u₂ = c_u(T₁ - T₂). (4.21)

То есть работа адиабатного расширения совершается в результате изменения внутренней энергии рабочего тела, которая уменьшается на величину, эквивалентную совершенной работе. При отрицательной работе (работе сжатия) внутренняя энергия возрастает на величину затраченной работы.

Подставив в уравнение (4.21) значение с_u = R/(к-1), получим

. (4.22)

Заменив в уравнении (4.22) произведения RT₁ = p₁u₁ и RT₂ = p₂u₂ по уравнению состояния, получим

. (4.23)

Уравнение (4.23) может быть представлено в следующем виде:

, помня, что по (4.17) , получим

. (4.24)

Так как по уравнению (а) крdu = - udp, то следовательно

кdl = dl¢ или l¢ = кl. (4.25)

Отсюда техническая работа

. (4.26)

Если говорить о теплоемкости в адиабатном процессе, то, очевидно,
c = dq/dT =0, т.к. dq = 0.

Адиабатный процесс является изоэнтропийным процессом, т.к. для него

и Ds = s₂ - s₁ = 0. ( 4.27)

В координатах T, s адиабата вертикальная прямая: 1-2 - расширение, 1-3 - сжатие (рис. 4.8).