Истечение и дросселирование газов и паров

10.1 Истечение газов. Основные понятия и математическое описание
Адиабатное истечение из суживающегося сопла. Сопло Лаваля

В настоящее время исключительно большое развитие получили различного рода лопаточные машины (паровые и газовые турбины, турбокомпрессоры и турбодетандеры), а также реактивные двигатели и т.д. Работа всех этих агрегатов связана с движением рабочего тела по каналам переменного сечения. В соответствии с существующей технической терминологией каналы, в которых движется рабочее тело (газ или пар), носят название сопел и диффузоров. Сопло - это канал, в котором потенциальная энергия потока превращается в кинетическую, т.е. канал, в котором скорость потока растет. Диффузор - канал, обеспечивающий торможение потока газа (или пара), сжатие рабочего тела, т.е. канал, в котором скорость потока уменьшается.

При рассмотрении первого закона термодинамики было установлено уравнение первого закона для потока газа

, (10.1)

где w - скорость движения рабочего тела.

В термодинамике принято считать течение рабочего тела по каналу адиабатным (dq = 0). Тогда уравнение (10.1) принимает вид dw²/2 = - dh, а поскольку dw²/2 = wdw, то получим

wdw = - dh. (10.2)

Для обратимого процесса истечения газа одновременно с уравнением (10.1) сохраняет силу уравнение (2.20) dq = dh - udp, которое при dq = 0 принимает вид

dh = udp. (10.3)

Тогда уравнение (10.2) с учетом (10.3) принимает вид

wdw - udp. (10.4)

Из уравнения (10.4) следует, что увеличение скорости движения сопровождается понижением давления газа и наоборот.

Уравнение (10.4) представим в следующем виде: разделим обе его части на w², а числитель и знаменатель правой части умножим на произведение к × р, где к - показатель адиабаты:

. (10.5)

Как известно из физики, местная скорость звука в газе , имеющем параметры p и u:

. (10.6)

При исследовании течений газа принято скорость движения относить к местной скорости звука; это отношение называют числом Маха (Ма).

. (10.7)

Если Ма < 1, то скорость истечения называют дозвуковой, если Ма > 1 - сверхзвуковой.

С учетом (10.6) и (10.7) уравнение (10.5) запишется так:

. (10.8)

Уравнение (10.8) называют уравнением Вулиса.

Пусть через поперечное сечение канала площадью f проходит газ со скоростью w. Удельный объем в этом сечении u. При установившемся движении газа, когда не происходит разрыва струи, через каждое поперечное сечение канала в единицу времени протекает одинаковое массовое количество газа Y.

. (10.9)

Отсюда

Y × u = f w. (10.10)

Продифференцировав выражение (10.10) при Y= const, получим

Ydu = fdw + wdf. (10.11)

Поделив (10.11) на выражение (10.10), получим уравнение сплошности

. (10.12)

Прологарифмировав уравнение адиабаты pu^к = const, получим
кlnu + lnp = const. Продифференцировав последнее выражение, получим
кdu/u + dp/p= 0. Отсюда

. (10.13)

Подставив (10.13) в уравнение (10.12) и умножив на - к, получим

. (10.14)

Подставляя (10.14) в уравнение (10.8), получим

. (10.15)

Знак разности (Ма² - 1) зависит от того, движется ли газ с дозвуковой или сверхзвуковой скоростью. При Ма = 1 газ имеет скорость равную местной скорости звука (w = а). В этом случае (Ма² - 1) = 0. При движении со скоростью меньше скорости звука Ма < 1 (w < a) и (Ма²-1) < 0. При сверхзвуковой скорости Ма > 1(w > a) и (Ма²-1) > 0.

Анализ уравнения (10.15) позволяет выяснить профиль канала в зависимости от начальной скорости газа и знака изменения скорости.

Пусть ставится задача выяснить профиль сопла, т.е. нужно создать ускоренное движение газа (dw > 0) и вначале
Ма < 1. На основании (10.15) должно быть
df < 0, т.к. в правой части произведение положительной величины dw > 0 на отрицательную (Ма²-1) < 0 дает отрицательную величину, то есть профиль канала должен быть суживающимся (рис.10.1). По мере роста скорости w будет увеличиваться число Ма, когда Ма = 1 (w = a), правая часть (10.15) обратится в 0, т.е. df = 0. В этот момент сечение станет минимальным.

При Ма > 1 при ускоренном движении
(dw > 0) знак разности (Ма²-1) > 0, следовательно, должно быть df > 0 (рис. 10.1), т.е. канал должен быть расширяющимся.

Пусть теперь ставится задача выяснить профиль диффузора, т.е. нужно создать замедленное движение (dw < 0). Если вначале газ движется со сверхзвуковой скоростью Ма > 1, то в правой части уравнения (10.15) получим отрицательный знак
(Ма² - 1) > 0 и dw < 0 и потому df < 0, т.е. сечение должно быть суживающимся (рис. 10.2). При Ма = 1 df = 0. В дозвуковой области при Ма < 1 (Ма² - 1) < 0 получим df > 0, т.е. профиль канала должен быть расширяющимся (рис. 10.2).

Как видно, в обоих случаях при Ма = 1 df = 0 и поперечное сечение канала является минимальным. В нем скорость движения газа становится равной скорости звука и здесь происходит, как говорят, кризис течения газа, отсюда все величины, относящиеся к этому сечению: w_кр, р_кр, u_кр , называются критическими.

Таким образом, как сопла, так и диффузоры могут быть суживающимися и расширяющимися. В каждом отдельном случае профиль сопла или диффузора определяется величиной числа Ма.

Адиабатное истечение из суживающегося сопла. Пусть в резервуаре, размеры которого достаточно большие, находится газ, вытекающий через суживающееся сопло. Обозначим параметры газа в резервуаре через p₁, u₁, Т₁
(рис. 10.3). Значения этих параметров со временем не изменяются. В устье сопла устанавливается постоянное давление р₂, которое будем считать равным давлению в среде, куда происходит истечение. Удельный объем и температуру в этой среде обозначим u₂ и Т₂. При движении по соплу газ переходит от параметров p₁, u₁, Т₁ к параметрам p₂, u₂, Т₂. При этом скорость его от одного сечения к другому увеличивается и достигает наибольшего значения в устье сопла. Если пренебречь теплообменом струи газа с внешней средой (за его малостью), то этот процесс можно считать адиабатным. Будем также считать его обратимым. Определим скорость истечения газа из сопла и его расход.

Интегрируя выражение (10.4) в пределах для w между w₁ = 0 (ввиду малости w₁ в сравнении с w₂) и w₂ = w и для давления между р₁ и р₂ получим

, (10.16)

где l¢ - техническая работа при адиабатном расширении.

Подставив в (10.16) значение технической работы l¢ по уравнению (4.26), получим выражение для скорости истечения

. (10.17)

Скорость истечения w можно найти также из выражения (10.2). Интегрируя это уравнение в пределах от w₁ = 0 до w₂ = w и от h₁ до h₂, получим

. (10.18)

Из уравнения (10.18) можно заключить, что кинетическая энергия газа, вытекающего из сопла, определяется разностью энтальпий начального и конечного состояний газа при его обратимом адиабатном расширении. Из уравнения (10.18) имеем

, (10.19)

где w в м/с, если h₁ и h₂ в Дж/кг.

Так как в таблицах энтальпия газа обычно приводится в кДж/кг, то формулу (10.19) записывают в виде

, (10.20)

где h₁ и h₂ в кДж/кг, a w в м/с.

Массовый расход газа через сопло найдем по выражению (10.9), которое запишем в следующем виде: , (10.21)

где f - площадь выходного сечения (устья) сопла; u₂ - удельный объем газа в выходном сечении.

Из связи параметров в адиабатном процессе имеем

или . (10.22)

Подставляя (10.17) и (10.22) в уравнение (10.21) получим

. (10.23)

Обозначая b = р₂/р₁ и подставляя b в (10.17) и (10.23), запишем выражения для скорости и массового расхода

. (10.24)

. (10.25)

Критическая скорость и максимальный расход газа. Рассмотрим, как изменяется расход Y газа через сопло, если начальное давление р₁ остается постоянным, а давление среды р₂ принимает различные значения. Построим диаграмму этого изменения в координатах Y - b (рис. 10.4). Пусть р₂ = р₁, т.е. b = 1, тогда из уравнения (10.25) следует, что Y = 0. Т.е. в том случае, когда давление в среде, куда должно происходить истечение, равно давлению входа в сопло, никакого истечения не происходит, что вполне понятно. Допустим р₂ = 0, т.е.
b = 0, тогда из (10.25) следует, что Y = 0. Т.е. получается, что при истечении в среду, где имеется полный вакуум, расход газа будет равен нулю. Что совсем непонятно.

При подстановке в уравнение (10.25) промежуточных значений b между 0 и 1 получим кривую 1-2-0 (рис.10.4). Как показано на рисунке, при уменьшении р₂, а следовательно, и b, расход газа сначала увеличивается и при b » 0,5 достигает максимума, после чего начинает падать и при b = 0 становится равным 0.

Опыт показывает, что расход газа в правой половине диаграммы совпадает с получаемым по уравнению (10.25), т.е. поднимаемся по кривой 1-2, при дальнейшем понижении р₂ (а следовательно, и b) расход газа остается постоянным и максимальным, т.е. идет по линии 2-3. Максимальному расходу соответствует в устье сопла критическое давление, при котором скорость истечения
w = а (Ма = 1). При этом р_кр/р₁ = b_кр.

Характер реальной кривой расхода 1-2-3 (рис.10.4) объясняется следующим. При давлении среды р₂ > р_кр давление в устье сопла р_уст = р₂. Когда давление среды р₂ понизится до р_кр, давление в устье р_уст = р_кр. При дальнейшем понижении давления среды р₂ < р_кр давление в устье сопла остается постоянным, равным р_уст = р_кр. Формулу (10.25) можно считать правильной и для левой половины рис. 10.4, если понимать в ней под р₂ не давление окружающей среды, а давление в устье сопла. Невозможность, начиная с определенного момента, дальнейшего понижения давления в устье суживающегося сопла объясняется характером распространения изменения давления в газовой среде. Всякое изменение давления, произведенное в какой-либо точке неподвижной газовой среды, распространяется со скоростью звука в данной среде.

Рассмотрим с этой точки зрения явление истечения газа. Так как распространение изменения давления происходит в движущейся среде, т.е. в вытекающей из сопла струе газа, надо различать абсолютную скорость распространения волны пониженного давления и относительную скорость. Если в среде, куда происходит истечение газа, понизить давление до некоторого значения р₂, то волна пониженного давления в вытекающей струе будет распространяться с абсолютной скоростью, равной скорости звука а. Относительная скорость волны пониженного давления, относительно неподвижного сопла, будет равна разности скоростей звука и движения струи: а - w (рис.10.5). При уменьшении р₂ и b эта разность будет становиться все меньше, т.к. w будет увеличиваться. Наконец наступит момент, когда а - w = 0. В этом случае в устье сопла установится скорость w = w_кр = а. А давление р₂ в этом случае будет равно р_кр, которое устанавливается в устье сопла.

Если понижать давление в среде р₂ дальше, ниже критического, то распространяясь в среде со скоростью звука, волна пониженного давления подойти к устью сопла не сможет, т.к. в последнем будет газ, вытекающий также со скоростью звука. Выходящая из сопла струя, попадая в среду с меньшим давлением, будет расширяться уже в самой среде. Таким образом, в суживающемся сопле нельзя получить скорость больше скорости звука.

Найдем максимальный расход Y_max и соответствующую ему критическую скорость w_кр. Значение b_кр, при котором устанавливается максимальный секундный расход и критическая скорость (в соответствии с правилами отыскания экстремума), может быть получено, если взять в формуле (10.25) первую роизводную от выражения в скобках и приравнять ее нулю,

то есть.

Продифференцировав, получим . Поделив последнее выражение на b^(2-к)/к и производя некоторые преобразования, получим

. (10.26)

Из выражения (10.26) видно, что b_кр целиком определяется значением показателя адиабаты к , т.е. физическими свойствами вытекающего газа. Так, при к = 1,4 b_кр = 0,528.

Подставив в выражения (10.24) и (10.25) значение b_кр по (10.26), получим формулы для определения w_кр и Y_max.

; (10.27)

. (10.28)

Для скорости w_кр можно также записать, согласно уравнению (10.20):

. (10.29)

Таким образом, при истечении газа из суживающегося сопла следует различать три случая:

1) 1 > b > b_кр. В этом случае скорость истечения и расход зависят от отношения р₂/р₁ и определяются по формулам (10.17) и (10.23). Здесь весь перепад давления от р₁ до р₂ используется на увеличение кинетической энергии газа;

2) b = b_кр. В этих условиях секундный расход достигает максимального значения. Давление р₂ = р_кр, а скорость w = w_кр. Скорость и расход определяются по формулам (10.27) и (10.28);

3) b_кр > b > 0. В этом случае, Y достигнув своего максимального значения при b = b_кр, дальше не увеличивается, скорость также остается постоянной, равной w_кр. Yи w здесь, как и в предыдущем случае, определяются по формулам (10.28) и (10.27), то есть в этом случае для увеличения кинетической энергии газа используется не весь перепад давлений - от р₁ до р₂, а только часть его - от р₁ до р_кр.

Если в среде, куда происходит истечение, давление ниже критического, то понизить давление на выходе из сопла до этого давления можно, как это было показано ранее, присоединением к суживающемуся соплу расширяющейся части, в которой и происходит требующееся для увеличения скорости падение давления ниже критического. Такое сопло впервые предложил шведский инженер Лаваль. Оно имеет вид, изображенный на рис. 10.6, и носит его имя (сопло Лаваля). Скорость на выходе из сопла Лаваля определяется по формуле (10.17), а расход по формуле (10.23), в которой под f надо понимать f_вых, т.е (10.30)

С другой стороны, расход может быть подсчитан по формуле (10.28),
где f = f_min,

т.е.. (10.31)

Несмотря на то, что w > w_кр, расход газа остается постоянным, равным Y_max.

Обычно расчет сопла Лаваля проводится по заданному расходу газа Y и параметрам р₁ и u₁ на входе, задается также давление среды р₂. Тогда из формул (10.30) и (10.31) можно подсчитать

; (10.32)

и . (10.33)

Если взять отношение f_вых/f_min, то получим

. (10.34)

Задаваясь различными значениями давления р₂ по формуле (10.34), можно вычислить соответствующую этому давлению площадь поперечного сечения сопла, то есть эта формула позволяет решить вопрос о профилировании сопла. Если допустить, что расширяющаяся часть сопла Лаваля выполнена с прямолинейными образующими и углом конусности a, то длина этой части сопла (рис. 10.7) найдется по формуле

.

Однако следует помнить, что в сопле Лаваля можно получить w > w_кр лишь в том случае, если р₂/р₁ < b_кр. Если же р₂/р₁ > b_кр, то в f_min сопла w < w_кр, а расширяющаяся часть ведет себя как диффузор. Комбинированное сопло начинает работать как диффузор и в том случае, если скорость газа на входе в сопло больше скорости звука.