Решение основных алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Алгебраические уравнения первой степени:

, – единственный простой корень.

Например, .

Квадратные уравнения:

,

квадратное уравнение всегда имеет два корня (различных или равных).

Нетрудно показать, что для корней квадратного уравнения всегда справедлива теорема Виета:

,

Примеры (решение квадратных уравнений)

;

проверка по теореме Виета:

;

, ;

проверка по теореме Виета:

Двучленные уравнения степени n:

,

двучленное уравнение степени n всегда имеет n различных корней.

Например, , , ,

, .

Алгебраические уравнения степени , не являющиеся двучленными решаются способом разложения многочлена на множители, используя для этого в том числе и теорему Безу.

Пример (решение кубического уравнения)

Решим кубическое уравнение: .

Решение

Это уравнение третьей степени имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.

Подбором находим первый корень уравнения , так как .

По следствию из теоремы Безу имеем, что ; выполняем это деление «в столбик»:

_
	_
		_

Представляя теперь многочлен в виде произведения линейного и квадратичного множителя, получим:

.

Другие корни находим как корни квадратного уравнения:

.

Ответ: , .

Интересной на множестве комплексных чисел является обратная задача о составлении алгебраического уравнения по известным его корням.

Пример (составление алгебраического уравнения по его корням)

Составим алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x₁ = 3 и x₂ = 1 + i являются его корнями, причем x₁ является двукратным корнем, а x₂ — простым корнем.

Решение

Число тоже является корнем уравнения, так как коэффициенты искомого уравнения должны быть действительными. Поэтому искомое уравнение всего имеет 4 корня: x₁, x₁, x₂, , следовательно его степень равна четырем.

Составляем многочлен 4-й степени с корнями x₁, x₁, x₂, по формуле (6):

Ответ: .