Основные свойства корней алгебраического уравнения
Свойство 1 (о количестве корней алгебраического уравнения) |
Любое алгебраическое уравнение степени имеет на множестве комплексных чисел ровно корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность. |
Примеры (количество корней алгебраического уравнения)
1) x2 – 4x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени (квадратное уравнение)
Þ 2 ± = 2 ± i — два корня;
2) x3 + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени (двучленное уравнение)
Þ ;
3) P3(x) = x3 + x2 – x – 1 = 0 – алгебраическое уравнение третьей степени;
число x1 = 1 является его корнем, так как P3(1) 0, поэтому по теореме Безу ; разделим многочлен P3(x) на двучлен (x – 1) «в столбик»:
| исходное уравнение P3(x) = x3 + x2 – x – 1 = 0 Û (x – 1)(x2 + 2x + 1) = 0 Û (x – 1)(x + 1)2 = 0 Þ x1 = 1 — простой корень, x2 = –1 — двукратный корень. |
Свойство 2 (о комплексных корнях алгебраического уравнения с действительными коэффициентами) |
Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти корни всегда парные комплексно сопряженные, то есть если число является корнем уравнения , то число также является корнем этого уравнения. |
w Для доказательства нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:
если , то и справедливы равенства:
, , , ,
если – действительное число, то .
Так как является корнем уравнения , то
, где -- действительные числа при .
Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:
, то есть число также удовлетворяет уравнению , следовательно, является его корнем. v
Например,
– парные комплексно сопряженные корни;
-парные компл. сопряженные корни.
В качестве следствия из доказанного свойства о парности комплексных корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами получается ещё одно свойство многочленов.
Свойство (о разложении целого многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители) |
Любой алгебраический многочлен , имеющий только действительные коэффициенты, разлагается на произведение линейных и (или) квадратичных функций с действительными коэффициентами. |
w Будем исходить из разложения (6) многочлена на линейные множители:
.
Пусть число x0 = a + bi — комплексный корень многочлена Pn(x), то есть это одно из чисел . Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то число тоже является его корнем, то есть среди чисел есть также число .
Вычислим произведение двучленов :
- получился квадратный трехчленс действительными коэф.
Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v
Примеры (разложение многочлена на множители с действительными коэф.)
1) P3(x) = x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1);
2) P4(x) = x4 – x3 + 4x2 – 4x = x(x –1)(x2 + 4).
Свойство 3 (о целых и рациональных корнях алгебраического уравнения с действительными целыми коэффициентами) |
Пусть дано алгебраическое уравнение , все коэффициенты которого являются действительными целыми числами, Если это уравнение имеет целый корень , то этот корень является делителем свободного члена . Если это уравнение имеет рациональный корень , то числитель этого корня является делителем свободного члена , а знаменатель - делителем, отличным от единицы, старшего коэффициента . |
w 1. Пусть целое число является корнем уравнения
, так как целое чиисло представлено произведением целого числа и выажения , имеющего целое значение.
2. Пусть алгебраическое уравнение имеет рациональный корень
, причем, числа p и q являются взаимно простыми .
Это тождество можно записать в двух вариантах:
Из первого варианта записи следует , что , а из второго – что , так как числа p и q являются взаимно простыми. v
Примеры (подбор целых или рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами)
;
если это кубическое уравнение имеет целый корень, то он находится среди делителей свободного члена уравнения, то есть среди делителей числа -9, образующих множество ; подставляя последовательно числа этого множества в исходное уравнение, находим, что является корнем;
;
если это уравнение 4-й степени имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена уравнения, то есть среди делителей числа -2, образующих множество чисел ; подставляем каждое из этих чисел в исходное уравнение:
таким образом, показано, что целых корней данное уравнение не имеет.
Рациональный корень ищем в виде – это множество делителей, отличных от единицы, старшего коэффициента 6. Поэтому рациональный корень (если он существует) находится среди чисел множества ; подстановкой каждому из этих чисел в исходное уравнение находим, что , следовательно, число является корнем.
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 367;