Импульсная характеристика (весовая функция)
В качестве тестового сигнала можно, в принципе, использовать любой сигнал. Например, можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс. Вопрос в том, чтобы определить некоторый стандартный вид этого импульса. На рисунках а)-в) показаны три импульса, имеющих одинаковые площади. Для простоты будем считать, что эта площадь равна единице.
Рисунок 3.4 – Импульсная функция
Что будет, если мы будем уменьшать ширину импульса, сохраняя его площадь? Очевидно, что высота импульса будет расти и в пределе (когда ширина стремится к нулю) станет бесконечной. Таким образом, мы получили еще один классический тестовый сигнал – единичный импульс или дельта-функцию Дирака δ(t) . Это идеальный (невозможный в реальной жизни) сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t=0 , где он уходит к бесконечность, причем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице
.
Поскольку бесконечный импульс невозможно нарисовать, на графике он изображается стрелкой, высота которой равна единице (см. рисунок г).
Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигнала 1(t) . Действительно, эта производная равна нулю при всех значениях t , кроме нуля, где она обращается в бесконечность.
Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) называется импульсной характеристикойи обозначается w(t)
Рисунок 3.5 – График импульсной функции
Импульсная характеристика, так же, как и переходная характеристика, определяется при нулевых начальных условиях, то есть, объект должен находиться в состоянии покоя.
Рассматривая дельта-функцию как предельный случай прямоугольного сигнала единичной площади, можно найти связь между переходной функцией и импульсной характеристикой.
Пусть ширина прямоугольного импульса равна ε, а высота – 1/ε. Такой импульс можно представить в виде разности двух ступенчатых сигналов
,
где 1(t −ε) – это единичный ступенчатый сигнал, который приходит в момент t=ε , то есть, смещен по времени на ε (см. рисунок далее).
Так как для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, сигнал на выходе будет равен разности реакций системы на входы 1(t) и 1(t−ε), умноженной на коэффициент 1/ε . Учитывая, что реакция на сигнал 1(t) – это переходная функция h(t) , получаем
.
Переходя к пределу при ε →0, находим, что импульсная характеристика
,
как оказывается, равна производной от переходной функции. Наоборот, переходная функция – это интеграл от импульсной характеристики на интервале от 0 до t
.
Дифференцируя переходную характеристику (7) звена первого порядка, получаем соответствующую импульсную характеристику
.
Другое название импульсной характеристики – весовая функция. Это название связано с тем, что для произвольного входного сигнала x(t) выход системы y(t) при нулевых начальных условиях вычисляется как интеграл
.
Здесь функция w(t) как бы «взвешивает» входной сигнал x(t) в подынтегральном выражении. Импульсная характеристика дает неполную информацию об объекте, поскольку не учитывает ненулевые начальные условия.
В отличие от ступенчатого сигнала, мгновенный импульс бесконечной величины невозможно получить на реальном устройстве, поэтому снять импульсную характеристику системы, строго говоря, экспериментально не удается.
Дата добавления: 2017-05-02; просмотров: 8127;