Метод проекции в геодезии. Учёт влияния кривизны Земли на измерение горизонтальных и вертикальных расстояний

Изобразить земную поверхность на плоскости - значит изобразить на ней очертания различных предметов местности. Всякий контур - это непрерывный ряд точек. Изображение земной поверхности на плоскости сводится таким образом к изображению отдельных точек.

При изображении на плоскости (листе бумаги) различных контуров земной поверхности все их точки проектируют со сложной физической поверхности Земли на более простую поверхность по перпендикулярам к этой поверхности (рисунок 8). Таковыми поверхностями могут быть поверхность земного эллипсоида, шара или плоскость.

Проектирование точек земной поверхности по перпендикулярам к принятой поверхности называется о р т о г о н а л ь н ы м проектированием.

При изображении небольших по площади участков местности на плоскости (на плане) пренебрегают кривизной земной поверхности, т.е. участок местности принимают за плоскость. Какими же должны быть размеры таких участков, чтобы их кривизной можно было бы пренебречь?

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAaIDRC8MA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESP0YrCMBRE3wX/IdwF3zStLlWqUVyhIL4sq/2AS3Nt yyY3pclq/XuzIPg4zMwZZrMbrBE36n3rWEE6S0AQV063XCsoL8V0BcIHZI3GMSl4kIfddjzaYK7d nX/odg61iBD2OSpoQuhyKX3VkEU/cx1x9K6utxii7Gupe7xHuDVyniSZtNhyXGiwo0ND1e/5zyr4 9I+0PH0XX35RpstlNTenwhilJh/Dfg0i0BDe4Vf7qBVk2QL+z8QjILdPAAAA//8DAFBLAQItABQA BgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5yZWxz UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFwZXht bC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAaIDRC8MAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJzL2Rv d25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIgDAAAAAA== "/>

Е

С

D

В

А

А'

В'

С'

D'

Е'

а

в

с

d

e

Физическая поверхность Земли

Поверхность эллипсоида

Плоскость

Рисунок 11 Ортогональное проектирование точек

Примем фигуру Земли за шар радиуса R ( рисунок 12 ). Пусть АВ = S - расстояние на шаре, - центральный угол, соответствующий дуге S. Проведём касательную плоскость в точке А и продолжим радиус ОВ до пересечения с этой плоскостью в точке С.

О

R

Dh

В

С

А

S

d

Рисунок 12 Влияние кривизны Земли на измерение горизонтальных и вертикальных расстояний

Если участок сферы S, примем за плоскость, соответствующую отрезку касательной АС= d , то будем иметь ошибку в горизонтальном расстоянии

d = d - S,

а в вертикальном

h = ОС - ОВ.

Из рисунка 12 видно, что

d = R tg , S= R ,

где угол выражен в радианах. Тогда

d = R (tg - ).

Известно, что tg = + 1/3 ³ +2/15 ⁵ + . . . .

Ограничиваясь первыми двумя членами этого убывающего ряда, и, пренебрегая последующими в виду их малости, получим

d = R ³/3.

Принимая во внимание, что = S/ R, получим

d = d ³/3 R² .

Приняв R=6371 км, d = 10 км, получим d/d=1/1000000. Такая ошибка считается допустимой при самых точных измеренияхрасстоянийна земной поверхности. Поэтому если изображаемый на плане участок земной поверхности не выходит за пределы круга диаметром 20 км, то соответствующую ему часть уровенной поверхности можно принять за плоскость. С увеличением расстояния d ошибка d быстро увеличивается, так как она пропорциональна кубу расстояния.

Определим теперь величину ошибки h в вертикальном расстоянии вследствие неучёта кривизны Земли.

Из треугольника ОАС получим

R² + d² = (R + h)² = h (2R + h)+ R^2..

Отсюда,

h = d² / 2R.

Подставляя в формулу (1.2) различные значения d, получим следующие погрешности h:

d, км ...............0.10 1.0 2.0 3.0 10.0

h,см...............0.08 7.8 31 71 785

При инженерно-геодезических работах требуемая точность определения отметок характеризуется ошибками менее 1-2 см, поэтому влияние кривизны Земли на определение высот должно, как правило, учитываться.

Контрольные вопросы по теме: