Математическое описание элементов и систем автоматического регулирования.
Поведение САР в процессе функционирования представляет собой сочетание статических и динамических режимов. Для проведения теоретических исследований САР и её отдельных элементов необходимо иметь уравнения, описывающие их поведение при изменяющихся внешних воздействиях. Эти уравнения представляют собой выраженные в математической форме соотношения, связывающие входные и выходные сигналы и воздействия.
С целью упрощения получения математических соотношений обычно вводят следующие допущения:
- САР и ее элементы обладают свойством стационарности;
- элементы САР являются линейными;
- протекающие процессы являются непрерывными функциями времени при выполнении нулевых начальных условий.
В обобщенном виде САР представлена на рис. 2.1.
Рис 2.1 Система автоматического регулирования
Здесь X и Z являются входными воздействиями, а Y – выходным параметром.
В общем случае действие непрерывной линейной САР описывается неоднородным дифференциальным уравнением следующего вида:
(2.1)
где a, b, c - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы.
Введем оператор дифференцирования . Тогда уравнение (2.1) может быть представлено в операторном виде:
(2.2)
В выражении (2.2) полином, стоящий при выходном параметре Y, называется собственным оператором и обозначается Q(p). Полиномы при воздействиях Х и Z называются соответственно оператором управляющего воздействия и оператором возмущающего воздействия. Оператор управляющего воздействия обозначим R1(p), а оператор возмущающего воздействия обозначим R2(p). С учётом введенных обозначений уравнение (2.2) примет вид:
(2.3)
Если рассматривается только установившейся режим, то уравнение (2.2) примет вид:
(2.4)
Таким образом, уравнение (2.2) описывает как динамику, так и статику САР, а уравнение (2.4) описывает только статику.
В тех случаях, когда система или её составной элемент описывается дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка, применяется стандартная форма записи уравнения. Например, имеем САР, содержащую один вход X и один выход Y, которая описывается уравнением:
(2.5)
Левую и правую часть уравнения (2.5) разделим на коэффициент a2:
(2.6)
Введем обозначения
Тогда уравнение (2.6) примет вид:
(2.7)
В уравнении (2.7) параметр Т1 имеет размерность сек-2, параметр Т2 –сек-1, а параметр К является безразмерным. Выражение (2.7) представляет собой уравнение в стандартной форме, которая является наиболее удобной при дальнейшем анализе динамических процессов. В этом случае собственный оператор Q(p) принимает вид алгебраического уравнения:
Следует отметить, что используемый ваше оператор дифференцирования p имеет тесную связь с оператором интегрального преобразования Лапласа S, который является комплексной величиной. Как известно, для линейных дифференциальных уравненийс постоянными параметрами при нулевых начальных условиях и точностью до обозначения оператор p соответствует оператору S, т.е.
Это обстоятельство позволяет использовать для решения уравнений типа (2.1), а также для моделирования САР интегральное преобразование Лапласа.
Напомним, что для отображения Функции f(t) действительной переменной t на комплексной плоскости в виде функции комплексной переменной f(S) выполняется следующим образом:
где S=a+jb
При этом f (t) называют оригиналом, а f(S) – изображением. Полагают, что функция f ( t ) обладает следующими свойствами:
- f ( t ) определена и кусочно - дифференцируема на всей положительной числовой полуоси(0-¥);
- f ( t )=0 при t<0;
-существуют такие положительные числа M и С, при которых выполняется соотношение:
Переход от изображения f ( S ) к оригиналу f ( t ) (обратное преобразование Лапласа) выполняется следующим образом:
Здесь интегрирование производится вдоль любой прямой, которая удовлетворяет условию Re(S)=a0>С. Символически обратное преобразование Лапласа обозначается в виде:
Дата добавления: 2017-05-02; просмотров: 1110;