Математическое описание элементов и систем автоматического регулирования.

 

Поведение САР в процессе функционирования представляет собой сочетание статических и динамических режимов. Для проведения теоретических исследований САР и её отдельных элементов необхо­димо иметь уравнения, описывающие их поведение при изменяющих­ся внешних воздействиях. Эти уравнения представляют собой выраженные в математической форме соотношения, связывающие входные и выходные сигналы и воздействия.

С целью упрощения получения математических соотношений обычно вводят следующие допущения:

- САР и ее элементы обладают свойством стационарности;

- элементы САР являются линейными;

- протекающие процессы являются непрерывными функциями времени при выполнении нулевых начальных условий.

В обобщенном виде САР представлена на рис. 2.1.

 
 

 


Рис 2.1 Система автоматического регулирования

 

Здесь X и Z являются входными воздействиями, а Y – выходным параметром.

В общем случае действие непрерывной линейной САР описывается неоднородным дифференциальным уравнением следующего вида:

 
 

 

 


(2.1)

где a, b, c - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы.

Введем оператор дифференцирования . Тогда уравнение (2.1) может быть представлено в операторном виде:

 

 
 


(2.2)

В выражении (2.2) полином, стоящий при выходном параметре Y, называется собственным оператором и обозначается Q(p). Полиномы при воздействиях Х и Z называются соответственно операто­ром управляющего воздействия и оператором возмущающего воздействия. Оператор управляющего воздействия обозначим R1(p), а оператор возмущающего воздействия обозначим R2(p). С учётом введенных обозначений уравнение (2.2) примет вид:

 
 


(2.3)

Если рассматривается только установившейся режим, то уравнение (2.2) примет вид:

(2.4)

 

Таким образом, уравнение (2.2) описывает как динамику, так и статику САР, а уравнение (2.4) описывает только статику.

В тех случаях, когда система или её составной элемент описывается дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка, применяется стандартная форма записи уравнения. Например, имеем САР, содержащую один вход X и один выход Y, которая описывается уравнением:

 
 


(2.5)

 

Левую и правую часть уравнения (2.5) разделим на коэффициент a2:

 

(2.6)

 
 


Введем обозначения

Тогда уравнение (2.6) примет вид:

(2.7)

В уравнении (2.7) параметр Т1 имеет размерность сек-2, параметр Т2 –сек-1, а параметр К является безразмерным. Выражение (2.7) представляет собой уравнение в стандартной фор­ме, которая является наиболее удобной при дальнейшем анализе динамических процессов. В этом случае собственный оператор Q(p) принимает вид алгебраического уравнения:

 
 

 


Следует отметить, что используемый ваше оператор дифференцирования p имеет тесную связь с оператором интегрального преобразования Лапласа S, который является комплексной величиной. Как известно, для линейных дифференциальных уравненийс постоянными параметрами при нулевых начальных условиях и точностью до обозначения оператор p соответствует оператору S, т.е.

Это обстоятельство позволяет использовать для решения уравнений типа (2.1), а также для моделирования САР интегральное преобразование Лапласа.

Напомним, что для отображения Функции f(t) действительной переменной t на комплексной плоскости в виде функции комплекс­ной переменной f(S) выполняется следующим образом:

 
 

 

 


где S=a+jb

При этом f (t) называют оригиналом, а f(S) – изображением. Полагают, что функция f ( t ) обладает следующими свойствами:

- f ( t ) определена и кусочно - дифференцируема на всей поло­жительной числовой полуоси(0-¥);

- f ( t )=0 при t<0;

-существуют такие положительные числа M и С, при которых выполняется соотношение:

 
 

 


Переход от изображения f ( S ) к оригиналу f ( t ) (обрат­ное преобразование Лапласа) выполняется следующим образом:

 
 

 


Здесь интегрирование производится вдоль любой прямой, которая удовлетворяет условию Re(S)=a0>С. Символически обратное преобразование Лапласа обозначается в виде:

 
 

 







Дата добавления: 2017-05-02; просмотров: 914; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.027 сек.