Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
Соударение тел — это сложный процесс, определяющими факторами которого являются форма тела и скорость соударения. Наиболее простая и совершенная форма тела — шар. Поэтому из всех известных в настоящее время теорий удара самой простой и совершенной является теория Герца соударения шаров. Предположим, что до удара шары движутся поступательно со скоростями, направленными по прямой, соединяющей их центры. Будем считать, что эта прямая совпадает с неподвижной осью z (рис. 83), причем координата центра масс первого шара всегда меньше координаты центра масс второго. Если скорость первого шара с радиусом больше скорости второго шара с радиусом , то в некоторый момент , когда шары коснутся друг друга в одной точке, произойдет соударение. Развивающуюся при ударе контактную силу P(t) называют ударной силой. В принятых обозначениях уравнения движения центров масс шаров имеют вид
.
Отсюда
где — приведенная масса. Расстояние между центрами масс шаров при соударении равно , т.е. . Уравнение с учетом сказанного принимает вид
(6.6)
Рис 83 |
Величину α, равную относительному смещению центров масс шаров, принято называть местным смятием. Термин «смятие» употребляется здесь не потому, что деформации предполагаются пластическими, а потому, что относительное перемещение шаров при силовом контакте происходит в основном вследствие деформации (смятия) их в зоне контакта.
Задача о статическом сжатии шаров в рамках классической теории упругости была решена Герцем в 1881 г. Решение это очень красиво, но сложно. Полученное решение показывает, что деформации быстро затухают по мере удаления от места контакта. Установленная Герцем зависимость между контактной силой Р и смещением α имеет вид
(6.7)
здесь - коэффициенты Пуассона, а и -модули Юнга соответственно первого и второго шаров.
Формула (6.7), строго говоря, является приближенной, так как получена в предположении, что в зоне контакта шары деформируются как плоские упругие полупространства. При скоростях соударения шаров, при которых еще не возникают пластические деформации, это условие выполняется. Таким образом, при упругом ударе шаров можно считать, что в уравнении (6.6) величины Р(t) и α связаны соотношением (6.7), т.е.
(6.8)
Нелинейное уравнение (6.8), является уравнением вида , умножая левую и правую части на , получим - уравнение с разделяющимися переменными
или
(6.9)
В момент обращения скорости относительного смещения в нуль величина α достигает максимального значения , поэтому
На первой стадии удара, когда величина α возрастает во времени, уравнение (6.9) можно записать в виде
.
Интегрируя его, получаем
Зависимость t от η может быть найдена только путем численного интегрирования. Определенный же интеграл при η = 1 вычисляется аналитически І= 1,4716.
Время нарастания контактной силы P(t) равно времени ее спада, поэтому время соударения T, выражается через вычисленный интеграл І по формуле
Полагая, что соударяются два одинаковых стальных шара и , .
При R = 1 см (m = 32,7 г) и получаем ,
Для сравнения проследим, как изменятся эти величины при увеличении скорости в 10, а затем и в 100 раз. В первом случае имеем
Во втором
При больших скоростях теорию Герца используют только для приближенной оценки основных параметров удара, так как даже у закаленных шаров, изготовленных из высококачественной стали, при скоростях соударения примерно 5—8 м/с наблюдаются местные пластические деформации.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 566;