Эта формула связывает мощность излучения с квадратом тока через сопротивление излучения.

Для определения воспользуемся методом вектора Пойнтинга. В соответствии с этим методом симметричный вибратор окружается сферой радиусом , центр сферы совпадает с центром симметричного вибратора.

Рис. 21. Сферические координаты площадки излучения

Полагая

После интегрирования получается формула, которую в 1924 году получил Баллангайн.

,

где постоянная Эйлера

– интегральный синус

– интегральный косинус

(См. в Янке Е., Эмде Ф. «Специальные функции»)

Рис. 22.Сопротивление излучения тонкого симметричного вибратора, отнесенное к току в пучности, в зависимости от

если , то

если , то

Входное сопротивление симметричного вибратора.

Мощность, подведенная от генератора к симметричному вибратору делится на излучаемую, теряемую в самом вибраторе (омические потери, потери в изоляторах, окружающих металлический проводник и в земле).

Излучаемая мощность характеризуется сопротивлением излучения .

Мощность потерь характеризуется сопротивлением .

Кроме излученного поля, есть еще колеблющееся вблизи антенны. Этому полю соответствует реактивная мощность. Эта мощность, то отдается генератором в пространство, то принимается генератором.

Реактивная мощность характеризуется реактивным сопротивлением

Таким образом

для симметричного вибратора, как правило , тогда

Рассмотрим полуволновой вибратор ( ).

Расчет ведут следующим образом. В вибраторе существуют потери, пусть , тогда , но этого не может быть, так как в точке питания он конечен, значит и – конечно.

Закон синуса тока – справедлив для линии без потерь, а у нас существуют потери, значит закон не синусоидальный, а такой, какой бывает в линиях с потерями. Он соответствует закону гиперболического синуса:

где , – коэффициент затухания и – коэффициент фазы.

Поэтому при расчете «коротких» вибраторов ( и ), то есть у которых узел тока находится от точек питания вибратора не ближе , исходят из синусоидального распределения тока.

При расчете «длинных» вибраторов ( ) следует исходить из распределения тока по закону .

Найдем формулу для расчета активной составляющей

через ток в пучности

через ток в точках запитки

Используя , получим

Значение для данной длины находят из таблиц или графиков

для

При расчете пользуются формулой входного сопротивления разомкнутой на конце двухпроводной линии без потерь, заменяя в ней волновое сопротивление линии волновым сопротивлением антенны (симметричного вибратора)

Таким образом

(7)