Параметрические модели динамических систем

Параметрический подход является доминирующим в теории идентификации. Естественно, что параметрические модели применяются в адаптивных системах идентификации и управления. Широкое распространение параметрического подхода объясняется, во-первых, самим развитием теории автоматического управления, во-вторых, попыткой описать в виде моделей физические процессы, протекающие в объекте, в-третьих, алгоритмизацией исследуемых процессов.

Введение параметров в модель позволяет отразить структуру, организацию элементов в объекте, их взаимосвязь. О работоспособности объекта, прежде всего, судят по пределам изменения его параметров. И, наконец, только благодаря параметрическому представлению удалось решить задачу управления в условиях неопределенности.

Параметрический подход неразрывно связан с методами построения и реализации моделей, зависящих от параметров. Как правило, математическая модель строится для описания каких-либо процессов, протекающих в объекте, или изучения явлений различной природы. В теории автоматического управления математические модели отражают причинно-следственные связи между наблюдаемыми переменными в пространстве «вход-выход».

Рис. 1.1. Блок-схема объекта управления

Объект, рассматриваемый с точки зрения вход-выходных соотношений, обычно представляется в виде, показанном на рис. 1.1. Здесь вектор наблюдаемых переменных, который для большинства объектов управления можно записать в виде [58]

,

где — непосредственный выход объекта, — вектор косвенных переменных, по которым можно судить о состоянии объекта,

.

Пространство входных переменных также можно разбить на два подмножества: управляющих переменных и переменных (возмущений), изменяющихся по независимым от нас и в общем случае априори неизвестным причинам. отражает влияние внешней среды на объект и может носить случайный характер. Некоторые переменные из поддаются контролю (контролируемые возмущения) и используются для решения задач управления, другие являются вредными и по отношению к объекту могут рассматриваться как шум. В задачах идентификации предполагается, что влияние среды на объект проявляется в виде некоторого шума (помехи).

Причинно-следственные связи в объекте на множестве экспериментальных данных можно описать с помощью математической модели

(1.2)

где — вектор состояния, — некоторый интервал времени (временная задержка), , — нелинейные операторы, структура которых известна с точностью до векторов неизвестных параметров , , принадлежащих ограниченной, но априори неизвестной области . Векторы , могут быть постоянными или изменяться с течением времен неизвестным образом. Вектор в данной записи характеризует внутренней состояние объекта, а является выходом.

Уравнение (1.2) представляет общую запись процессов, протекающих в объекте, в параметрической форме. Из (1.2) можно получить различные виды параметрических представлений за счет изменения или преобразования аргументов или вида операторов , . Данное представление справедливо как для динамических, так и статических объектов. Для динамических объектов из (1.2) можно получить модель в пространстве состояний. При этом первое уравнение описывает эволюцию внутреннего состояния объекта (модель состояния), а второе — процесс измерения (модель наблюдения). Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (1.2), которые соответствуют часто применяемым параметрическим моделям в системах управления.

Наиболее общим классом параметрических моделей являются динамические, которые можно разделить [10] на безынерционные и инерционные. Предлагаемая классификация основана на анализе и использовании информации , наблюдаемой на некотором интервале и наиболее полно соответствует проблеме идентификации. Обычно к динамическим относят модели, описывающие процессы, обладающие свойством инерционности. Под инерционностью понимают реакцию объекта на входное воздействие. В такой трактовке понятие инерционности (динамизма) ассоциируется с парой объекта. Безынерционные динамические модели включают в себя еще одну переменную — время, которое в некоторых случаях может выступать и как входная переменная, и как переменная, отражающая предысторию объекта. Учитывая приведенные рассуждения, динамическую модель можно представить следующим образом.

Введем переменную и будем полагать, что . Тогда из уравнения (1.2) можно получить динамическое представление в пространстве

, (1.3)

где .

Из (1.3) видно, что динамические свойства объекта могут определяться как собственно его внутренней структурой, так и динамическими свойствами входа и помехи . Рассмотрим некоторые частные случаи (1.3).