Линейные функции случайных величин.

Пусть - нормально распределенная случайная величина с параметрами и . Тогда, если A и B - постоянные, то случайная величина , линейно зависящая от , также нормально распределена, причем*

Докажем это утверждение. Пусть для простоты B>0. Оценим вероятность неравенств . Ясно, что эти неравенства равносильны неравенствам , т.е.

Поэтому

Так как величина распределена нормально, то

Проведем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда и, следовательно,

Итак,

Это равенство показывает, что случайная величина имеет нормальное распределение, причем и .

Имеет место и более общее утверждение. Пусть - постоянные, а - нормально распределенные попарно независимые случайные величины, причем .

Тогда случайная величина

также имеет нормальное распределение, причем

В частности, если при любом i, то случайная величина распределена нормально, причем , , .

* Это утверждение можно получить просто из свойств математического ожидания и дисперсии. Так, например,