Математическое описание элементов и систем автоматического регулирования

Поведение САР в процессе функционирования представляет собой сочетание статических и динамических режимов. Для проведения теоретических исследований САР и её отдельных элементов необходимо иметь уравнения, описывающие их поведение при изменяющихся внешних воздействиях. Эти уравнения представляют собой выраженные в математической форме соотношения, связывающие входные и выходные сигналы и воздействия. С целью упрощения получения математических соотношений обычно вводят следующие допущения:

- САР и ее элементы обладают свойством стационарности;

- элементы САР являются линейными;

- протекающие процессы являются непрерывными функциями времени при выполнении нулевых начальных условий.

В обобщенном виде САР представлена на рис. 2.1.

Рис 2.1 Система автоматического регулирования

Здесь X и Z являются входными воздействиями, а Y – выходным параметром.

В общем случае действие непрерывной линейной САР описывается неоднородным дифференциальным уравнением следующего вида:

(2.1)

где a, b, c - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы.

Введем оператор дифференцирования . Тогда уравнение (2.1) может быть представлено в операторном виде:

(2.2)

В выражении (2.2) полином, стоящий при выходном параметре Y, называется собственным оператором и обозначается Q(p).

Полиномы при воздействиях Х и Z называются соответственно оператором управляющего воздействия и оператором возмущающего воздействия.

Оператор управляющего воздействия обозначим R₁(p), а оператор возмущающего воздействия обозначим R₂(p). С учётом введенных обозначений уравнение (2.2) примет вид:

(2.3)

Если рассматривается только установившейся режим, то уравнение (2.2) примет вид:

(2.4)

Таким образом, уравнение (2.2) описывает как динамику, так и статику САР, а уравнение (2.4) описывает только статику.

В тех случаях, когда система или её составной элемент описывается дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка, применяется стандартная форма записи уравнения. Например, имеем САР, содержащую один вход X и один выход Y, которая описывается уравнением:

В уравнении (2.7) параметр Т₁ имеет размерность сек^-2, параметр Т₂ –сек^-1, а параметр К является безразмерным. Выражение (2.7) представляет собой уравнение в стандартной форме, которая является наиболее удобной при дальнейшем анализе динамических процессов. В этом случае собственный оператор Q(p) принимает вид алгебраического уравнения:

Следует отметить, что используемый ваше оператор дифференцирования p имеет тесную связь с оператором интегрального преобразования Лапласа S, который является комплексной величиной. Как известно, для линейных дифференциальных уравненийс постоянными параметрами при нулевых начальных условиях и точностью до обозначения оператор p соответствует оператору S, т.е. Это обстоятельство позволяет использовать для решения уравнений типа (2.1), а также для моделирования САР интегральное преобразование Лапласа.

Напомним, что для отображения Функции f(t) действительной переменной t на комплексной плоскости в виде функции комплексной переменной f(S) выполняется следующим образом:

где S=a+jb

При этом f (t) называют оригиналом, а f(S) – изображением. Полагают, что функция f ( t ) обладает следующими свойствами:

- f ( t ) определена и кусочно - дифференцируема на всей положительной числовой полуоси(0-¥); - f ( t )=0 при t<0;

-существуют такие положительные числа M и С, при которых выполняется соотношение:

Переход от изображения f(S) к оригиналу f(t) (обратное преобразование Лапласа) выполняется следующим образом:

Здесь интегрирование производится вдоль любой прямой, которая удовлетворяет условию Re(S)=a₀>С. Символически обратное преобразование Лапласа обозначается в виде: