Структурные модели САР

В данном вопросе рассматривается аналитическая форма представления динамических САР и материализация математических понятий и аналитических приемов в виде структурных математических модулей. Это положение в значительной степени упрощает процесс технической реализации как модулей, так и реальных элементов и систем.

Допустим, что САР содержит один вход X ( t ), один выход Y ( t ), и имеет передаточную функцию следующего вида:

Запишем уравнение в операторном виде, связывающее входные и выходные сигналы и соответствующее заданной передаточной функции:

Выразим уравнение (2.12) относительно старшей степени S:

(2.13)

Входной сигнал Y ( t ) можно получить путем последовательного интегрирования старшей производной Sⁿy( t ).

Для этого потребуется n последовательно включенных интеграторов, сигналы на входах которых представляют собой производные от Sⁿy ( t ) до Sy( t ) (рис.2.3).

Рис. 2.3. Последовательное интегрирование

Согласно уравнению (2.13) очевидно, что старшая производная Sⁿy( t ) равна переменной b_mx ( t ) минус сумма выходных сигналов интеграторов, умноженных на коэффициенты а₁, а₂ ... а_n. Тогда получим структурную модель, представленную на рис. 2.4.

Рис 2.4 Структурная модель САР

Введем обозначения Z₁(t)=y(t), Z₂(t)=S×y(t)…Z_n(t)=S^n-1×y(t) и уравнение n-го порядка (2.12) запишем в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка:

(2.14)

Система уравнений (2.14) является одной из форм представления динамических процессов структурной модели, изображенной на рис. 2.4.

В матричной форме система уравнений (2.14) имеет вид:

В сокращенном виде матричная форма записывается следующим образом:

где n-мерный вектор состояния;

A – квадратная матрица размером n ´ n;

b - - вектор-столбец управления.

Структурная математическая модель динамических процессов САР обладает рядом преимуществ перед аналитическими описаниями или передаточными функциями. Во-первых, структурная модель дает ясное и наглядное представление понятию "состояние систем", как совокупность сигналов на выходах интеграторов. Во-вторых, однозначно представляется структура взаимодействий между переменными в виде системы с обратными связями, которые и определяют протекание динамических процессов. Одновременно структурные модели оказывают помощь при моделировании САР на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.