Примеры разложения других функций в ряд Маклорена
Рассмотрим несколько примеров разложения в ряд Маклорена более «сложные» функции с использованием элементарных разложений.
1. y=ln(1- x) x Для этого используем формулу разложения функции ln(1+x), только вместо переменной х необходимо подставить (- х).
ln(1-x) =-x + -…== - x ….
Легко заметить, что полученный ряд имеет все отрицательные элементы, что позволяет представить разложение более сложной функции, а именно:
2. у= x - + –( - x ….)=2(x+ . Таким образом, получили знакоположительный ряд с нечётными степенями.
Заметим, что используемые выше формы разложения логарифмов допустимы лишь при значениях переменной х в области (-1;1). Теперь с помощью формулы можно представлять в степенной ряд и соответственно вычислять логарифм любого числа.Для этого предварительно сделаем подготовку.
Представим, что необходимо вычислить lnM, где М – это число >2. Запишем равенство М=
Выразим х относительно М: М(1-х)=1+х, отсюда х= .
3. Вычислить с точностью 0,001 натуральный логарифм числа М=5.
Решение: ln5= =2(x+ )=2( )=2(0.6666+0.0987+0.0263+0.0028)=1.606
4. у =
Для ражложения этой функции в ряд Маклорена можно использовать формулу (5) только вместо показателя надо поставить (-1)
Решение.
у = =1-х+
********************
5.
Замечание. Ряд Маклорена является разложением бесконечно дифференцируемой функции по базису {1, x, x2, …,xn, …} (в интервале сходимости).
§9. Разложение функций в степенные ряды.
I. Непосредственное вычисление
II. Использование известных разложений (§8), действий с рядами, алгебраических формул,
единственности разложения, сдвига центра.
Примеры. 1)
{ }
2) {
}
III. Почленное интегрирование рядов.
Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию
{ }
§10.Некоторые приложения степенных рядов.
- Приближенные вычисления.
Пример. Найти значение с точностью 0.001.
{ Так как это знакочередующийся ряд, то его остаток меньше первого отброшенного члена (гл.1,§11). Следовательно, (с точностью 0.001).}
2.Интегрирование с помощью рядов.
Пример.
3.Решение дифференциальных уравнений.
Примеры. 1. Найти четыре первых члена разложения в ряд Тейлора решения дифференциального
уравнения:
{ Вычислим производные в т. х0=1:
}
2*. Решить уравнение:
{Будем искать решение в виде степенного ряда:
Тогда Подставляя данные выражения в уравнение, имеем: или
В силу начальных условий: а0 = 0, а1 = 1. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях,
получим: Отсюда :
и }
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 4785;