Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена.

Теорема. Если функция f(x) n раз дифференцируема в некоторой точке , то её можно разложить в окрестности этой точки в степенной ряд (многочлен n- ой степени) вида:

= (1)

при условии, что значения функции f(x) и многочлена и их производные всех порядков совпадают.

Тогда функцию f(x) можно представить как разложение по степеням (х- в виде ряда:

f(x)=f( +…+ , (2)

где коэффициенты выражены через значения производных в точке и порядковые факториалы,

- остаток разложения.

Формула (2) называется формулой Тейлора.

Доказательство.

Пусть имеется функция f(x) . Необходимо представить функцию f(x) многочленом вида (1), которые удовлетворяют условию теоремы, т.е. имеют производные n- го порядка и их значения совпадают в точке

Так, предположим, что х= . Получим f( Тогда из уравнения (1) следует, что Значит f(

Теперь дифференцируем f(x) и .

(3)

при х= получим таким образом, имеем (4)

Далее берём производные второго порядка:

); из равенства (3) (5)

Полагаях = , получим (6)

Итак, продолжая дифференцировать последовательно третий раз, четвёртый и т.д., получим: , … (7)

Теперь в знаменателях значений коэффициентов (7) произведение чисел заменим факториалами и запишем выражение функции f(x):

f(x)= f( (8)