Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена.
Теорема. Если функция f(x) n раз дифференцируема в некоторой точке , то её можно разложить в окрестности этой точки в степенной ряд
(многочлен n- ой степени) вида:
=
(1)
при условии, что значения функции f(x) и многочлена и их производные всех порядков совпадают.
Тогда функцию f(x) можно представить как разложение по степеням (х- в виде ряда:
f(x)=f( +…+
, (2)
где коэффициенты выражены через значения производных в точке и порядковые факториалы,
- остаток разложения.
Формула (2) называется формулой Тейлора.
Доказательство.
Пусть имеется функция f(x) . Необходимо представить функцию f(x) многочленом вида (1), которые удовлетворяют условию теоремы, т.е. имеют производные n- го порядка и их значения совпадают в точке
Так, предположим, что х= . Получим f(
Тогда из уравнения (1) следует, что
Значит
f(
Теперь дифференцируем f(x) и .
(3)
при х= получим
таким образом, имеем
(4)
Далее берём производные второго порядка:
); из равенства (3)
(5)
Полагаях = , получим
(6)
Итак, продолжая дифференцировать последовательно третий раз, четвёртый и т.д., получим: ,
…
(7)
Теперь в знаменателях значений коэффициентов (7) произведение чисел заменим факториалами и запишем выражение функции f(x):
f(x)= f( (8)
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2033;