Нормальный закон распределения
В теории вероятностей и математической статистике, в различных приложениях важную роль играет портальный закон распределения (закон Гаусса). Случайная величина распределена по этому закону, если плотность вероятности ее имеет вид
где а = М(Х) — математическое ожидание случайной величины; а — среднее квадратическое отклонение; следовательно, s2 — дисперсия случайной величины.
Кривая нормального закона распределения имеет колоколообразную форму (рис. 2.1), симметричную относительно прямой х = а (центр рассеивания). В точке х = а функция достигает максимума:
По мере возрастания ïх - аïфункция f(x) монотонно убывает, асимптотически приближаясь к нулю. С уменьшением s кривая становится все более и более островершинной. Изменение а при постоянной s не влияет на форму кривой, а лишь сдвигает ее вдоль оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой, согласно условию нормировки, равна единице. На рисунке 2.1 изображены три кривые. Для кривых 1 и 2 а = 0, эти кривые отличаются значением s (s1 < s2); кривая 3 имеет а ¹ 0 (s = s2).
Вычислим функцию распределения (2.19) для этого случая:
(2.23)
Обычно используют иное выражение функции нормального распределения. Введем новую переменную , следовательно, dx = sdt. Подставив эти значения в (2,23), получим
(2.24)
Значения функции Ф(t) обычно находят в специально составленных таблицах (см. [2]), так как интеграл (2.24) через элементарные функции не выражается. График функции Ф(t) изображен на рисунке 2.2.
На основании (2.17) можно вычислить вероятность того, что случайная величина при нормальном распределении находится в интервале (х1, х2). Без вывода, по аналогии с (2.24), укажем, что эта вероятность равна
(2.25)
Воспользуемся выражением (2.25) для вычисления следующих вероятностей
Отметим, что Ф(-t) = 1 - Ф(t), поэтому Р = 2Ф(1) - 1. По таблице находим Ф(+1) = 0,8413, откуда
Р = 2 • 0,8413-1 = 0,683; (2.26а)
По таблице находим Ф(2) = 0,9772, откуда
Р = 2 • 0,9772 - 1 = 0,954; (2.26б)
По таблице находим Ф(3) = 0,9986, откуда
Р = 2 • 0,9986 - 1 = 0,997. (2.26в)
На рисунке 2.3 приведено нормальное распределение (а = 0) и штриховкой показаны области, площади которых равны вероятностям 0,683 и 0,954.
Допустим, что произвольно из нормального распределения выбираются группы по п значений случайных величин. Для каждой группы можно найти средние значения, соответственно х1, х2, ..., xi, ... . Эти средние значения сами образуют нормальное распределение (в отличие от изложенного выше нормального распределения здесь каждому среднему значению xi будет соответствовать не вероятность, а относительная частота). Математическое ожидание такого «нового» нормального распределения равно математическому ожиданию исходного нормального распределения, а дисперсия (Dn) и среднее квадратическое отклонение (sп) отличаются соответственно в n в раз относительно этих характеристик исходного распределения:
(2.27)
Это положение здесь не доказывается, но его можно проиллюстрировать рисунком 2.4, на котором приведены графики нормальных распределений, полученных для групп со значениями п, равными 1, 4, 16, и п ® ¥. Рассмотрим крайние частные случаи. При /г=1 приходим к исходному нормальному распределению, поэтому оп = о. При п ® ¥ sп ® 0; фактически в этом случае «группа случайных величин» — это все исходное распределение, других групп нет, поэтому среднее значение выражается только одним числом и оно соответствует математическому ожиданию. Все распределение сводится к этому значению математического ожидания (на графике представлено вертикальной линией).
Дата добавления: 2017-01-16; просмотров: 1164;