Производная сложной функции.
На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто. Правило дифференцирования сложной функции в общем виде таково: . Можно так сказать: «производная сложной функции равна произведению производных»
Здесь у нас две функции – u и v, причем функция v, образно говоря, вложена в функцию u. Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией. Например, y=lnsinx.
Здесь в логарифм вложена функция синус. Поэтом в начале берём производную от логарифма, а затем производную от аргумента, т.е. от синуса.
Пример двойного вложения. = =
Другие примеры
Найти производную функции:
1.у= =28
Здесь главной является степенная функция. Соответственно производня берются по правилам степенной функции:
2.Найти производную. Здесь в символах u(v) главной является функция arctg, а аргументом является , поэтому по таблице производных распишем:
3. Найти производную y= ; Здесь главной функцией является степенная зависимость, которую лучше представить в виде y= и далее применить формулу
4. Сравните результаты производных двух функций: y= и y=sin .
и
5. Найти производную функции y=y=
Здесь имеется корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
=
= = .
6. Найти производную функции
Здесь можно использовать правило дифференцирования частного
= =
= .
7. Найти производную функции y= . Число 22 являтся основанием показательной функции.
Это есть показательная функция, которая дифференцируется по правилу:
, т.е. эта функция вначале повторяется. затем умножается на натуральный логарифм от основания и далее берётся производная от степени. Твким образом, имеем:
=
8.Найти производную y=
Когда в показательной функции основанием является не число, а функция, такая функция называется сложно показательной функцией. Вычисление производной при этом производится через логарифмирование функции по формуле:
y= lny=ln ;
. Таким, образом можем для данной функции записать:
= 3lnsin2x+3x
Или окончательно:
Производная функции, заданная параметрически
Пусть задана функция y=f(x) через параметр t:
x=x(t) и y=y(t). Необходимо определить производную . Выразим эту производную через отношения дифференциалов:
= - это есть производная первого порядка.
Определим теперь производную второго порядка. Для этого представим вычисление второй производной как повторная производная от первой производной:
=
Пример.
1. Найти первую и вторую производные от функции.
x = 3
y = cos2t
Решение .
=
Задание для самостоятельной работы
Найти производную функций: Ответы:
1. y= 1.
2. y= 2.6
3. y=
4. y=ctg2x
5.y=
.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2422;