Производные высших порядков

Производная второго порядка функции
Производная второго порядка функции :

Пример 1.
а) Найти производную второго порядка функции У=
Решение. Найдем сначала производную первого порядка
От производной первого порядка возьмем еще раз производную


Пример 2. Найти производную третьего порядка функции y=cosx

Решение.

Пример 3.

Найти производную третьего порядка функции у =

Решение. ; =

 

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

 

Определение. Прямая называется асимптотойкривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

 

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

 

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

 

Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

 

Вертикальные асимптоты.

 

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

 

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

 

Наклонные асимптоты.

 

Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

 

 

M

 


j

 

N

j P

 

Q

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

 

Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.

 

По условию: , ÐNMP = j, .

Угол j - постоянный и не равный 900, тогда

 

 

Тогда .

 

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

 

В полученном выражении выносим за скобки х:

 

Т.к. х®¥, то , т.к. b = const, то .

 

Тогда , следовательно,

 

.

 

Т.к. , то , следовательно,

 

 

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

 

2) Наклонные асимптоты:

 

 

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

 

 

Построим график функции:

 

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

 

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты.

 

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

 

 






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1412; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.036 сек.