ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И МЕТОД ИХ РЕШЕНИЯ
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными даётся формулой:
.
Эта формула задаёт y как функцию x неявно. Если уравнение решить относительноy, то получим явное решение дифференциального уравнения.
Пусть задано дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными:
;
Нужно разделить переменные: в левой части уравнения собрать все у и дифференциал dу, в правой части все х и дифференциал dx.
;
Умножаем обе части на (-1), получаем:
;
Левую часть нужно избавить от , а правую часть – от . Для этого обе части делим на и получаем:
;
После сокращения получим уравнение с разделенными переменными:
;
После чего интегрируем обе части уравнения:
.
Например: Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:
при и (начальные условия)
Заменяем получаем:
;
Левую часть освобождает от х, для чего обе части умножаем на
;
Правую часть освобождаем от у, деля обе части на у:
;
Получили уравнение с разделенными переменными, берем интегралы левой и правой части, получаем:
Левый интеграл табличный, а правый решаем методом подстановки.
;
Раскрываем оба интеграла:
;
Для удобства постоянную интегрирования С берем под знак логарифма.
Потенцируем и получаем:
, или - это есть общее решение дифференциального уравнения.
Находим частное решение. Для этого в общее решение подставляем начальные условия у и х и находим численное значение С:
, откуда
Полученные значение С подставляем в общее решение и получаем:
- частное решение дифференциального уравнения.
Проверка (основана на определении, что решением дифференциального уравнения называется всякая функция, при подстановки которой и её производных в уравнение получаем тождество): ;
;
;
Возводим обе части в куб:
;
.
Примечание. Основные случаи потенцирования:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1811;