Приложения определенного интеграла.

Если известна скорость прямолинейного движения материальной точки

ν = ν(t), то можно найти путь, пройденный этой точкой за промежуток времени от t₀ до Т. В самом деле, из определения ν(t) следует, что эта функция является производной от закона движения точки S = S(t) в момент t и, следовательно, S(t) есть первообразная для ν(t). Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница S(T) – S(t₀) =

Пример: Рассмотрим популяцию бактерий, в которой масса особи меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть β означает возраст в тех или иных единицах времени, а р(β) – число особей популяции, возраст которых равен β. Пусть, наконец, μ(β) – средняя масса особи возраста β, а М(β) – биомасса всех особей в возрасте от 0 до β.

Заметив, что произведение р(β) μ(β) равно биомассе всех особей возраста β, рассмотрим разность М (β + Δ β) – М(β), где Δ β>0.Очевидно, что эта разность, равная биомассе всх особей в возрасте от β до β + Δ β, удовлетворяет неравенствам:

р( ) μ( ) Δ β ≤ М (β + Δ β) – М(β) ≤ р( ) μ( ) Δ β,

где р( ) μ( ) - наименьшее, а р( ) μ( )– наибольшее значения функции, р(β) μ(β) на отрезке [β ; β + Δ β]. Учитывая , что Δ β>0, из нашего неравенства имеем: р( ) μ( ) ≤ (М (β + Δ β) – М(β)) / Δ β ≤ р( ) μ( ).

Из непрерывности функции р(β) μ(β) следует, что

р( ) μ( ) = р( ) μ( ) = р(β) μ(β).

Поэтому будем иметь (М (β + Δ β) – М(β)) / Δ β = р(β) μ(β).

Или производная от (М (β + Δ β) – М(β)) / Δ β равна р(β) μ(β).

Следовательно, биомасса М(β) является первообразной для функции р(β) μ(β).

Отсюда: М(Т) – М(0) =

Где Т – максимальный возраст особи в данной популяции.

Так как М(0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем

М(Т) = .