Метод контурных токов

Расчет любой сложной электрической цепи может быть сведен к решению системы из уравнений, если использовать так называемые контур­ные токи, т.е. токи, замыкающиеся в независимых контурах. В соответствии с этим методом составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа, для чего выбирается необходимое число контуров. При расчете полагают, что в каж­дом контуре течет свой контурный ток.

Последовательность расчета и вывод основных уравнений проведем приме­нительно к схеме, показанной на рис. 1.26.

Для расчета по методу контурных токов в схеме выделяют независимые контуры. Если в левом верхнем контуре протекает ток , в правом верх­нем – , в нижнем – , то при направлении обхода всех контуров по часовой стрелке для контурных токов можно составить следующие уравнения по второму закону Кирхгофа

;

. (1.45)

После преобразования получим:

. (1.46)

Введем обозначения

; ; ;

; ; ;

; ; ,

где – полные или собственные сопротивления первого, второго и третьего контуров; – сопротивления смежных ветвей между пер­вым и вторым, первым и третьим, вторым и третьим контурами, взятые со зна­ком минус; – контурные ЭДС первого, второго и третьего конту­ров (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с на­правлением обхода контура).

Перепишем уравнения (1.46)

; (1.47)

.

По контурным токам определяют токи в ветвях:

1) токи в наружных ветвях равны контурным токам и совпадают с ними по направлению, если контурный ток является положительным; если контурный ток – отрицательный, то направление тока в ветви меняется;

2) ток в смежной ветви, которая является общей для двух контуров, опреде­ляется как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.

Так, для схемы на рис. 1.26 имеем

Порядок расчета методом контурных токов:

1) для каждого независимого контура произвольно выбирают положитель­ное направление контурного тока;

2) для каждого контура составляют уравнение (1.46) по второму закону Кирхгофа. Для этого направление обхода контура выбирают совпадающим с на­правлением контурного тока;

3) решают систему уравнений относительно контурных токов;

4) определяют токи в ветвях через контурные токи;

5) проверяют решения по второму закону Кирхгофа.

Метод двух узлов

Под мето­дом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое принимают узловое напряжение. С помощью напряжения между двумя узлами определяют токи в ветвях. На рис. 1.27 показана схема цепи с двумя узлами а и b, состоящая из четырех ветвей. Находим напряжение

Рис. 1.27

. (1.48)

В общем виде напряжение между двумя уз­лами находят по формуле

.

Произведение учитывается со знаком плюс, когда направлено к узлу, потенциал которого условно принят за более положительный (к узлу с первым индексом).

Используя напряжение между узлами , по закону Ома определяем токи

Подставим эти уравнения в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа

,

Рис. 1.28

Три источника ЭДС, соединенные параллельно, можно заменить одним экви­валентным (рис. 1.28).

Из формулы (1.48) при = 0 имеем

В общем виде . (1.49)

Число элементов уравнения (1.49) определяется количеством ветвей, содержащих ЭДС. Учитывая , фор­мулу (1.49) запишем в виде

. (1.50)

Пример 1.3. Для схемы на рис. 1.27 определить ток , если = 25 В; = 30 В; = 15 В; = = 100 Ом; = 200 Ом; = 150 Ом.

Решение. Напряжение между двумя узлами (1.48)

В.

Ток

А.

Принцип наложения

Принцип наложения представляет собой частный случай известного из фи­зики принципа независимости действия сил. Сущность принципа наложения за­ключается в том, что в любой ветви линейной цепи с постоянными сопротивле­ниями равен ток алгебраической сумме частичных токов, создаваемых в этой ветви каждой из ЭДС в отдельности. Таким образом, при определении токов в ветвях можно поочередно оставлять в схеме по одной ЭДС, считая, что все ос­тальные ЭДС равными нулю, но оставляя их внутренние сопротивления (рис. 1.29). Обычно получается цепь с последовательно-параллельным соединением сопротивлений. В этой цепи сначала определяются так называемые частичные токи, вызванные действием только первого источника ЭДС. Их обозначают и т.п. Таким же образом рассчитывают частичные токи ( и т.д.), вызываемые действием второй ЭДС.

Алгебраически сложив частичные токи, определяют действительные значе­ния токов в каждом участке сложной цепи, когда все ЭДС действуют одно­временно.

Токи в ветвях .

Рис. 1.29

Порядок расчета по принципу наложения:

1) поочередно рассчитывают частичные токи, возникающие от действия каждого источника, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя при этом их внутренние сопротивления;

2) определяют токи в ветвях алгебраическим сложением частичных токов.

Следует отметить, что принципом наложения нельзя пользоваться для рас­чета мощностей, так как мощность – квадратичная функция тока или напряже­ния. Например,

.