Потенциал точечного источника над однородной землей

Рис.1. Поле точечного источника постоянного тока, над однородным разрезом.

Данная задача является простейшей задачей электроразведки постоянным током (рис. 1.).

Пусть электрод А посылает в Землю ток силой I. Сопротивление воздуха бесконечно велико, поэтому весь ток растекается в Земле, имеющей сопротивление r. Земля однородна, следовательно, ток от источника течет равномерно по всем направлениям, т.е. линии плотности тока представляют собой прямые лучи, исходящие из точки А. Окружим точку А полусферой S произвольного радиуса r с центром в точке А. Очевидно, что сила тока, проходящая через нее, равна полной силе тока I. Следовательно, плотность тока в любой точке M, расположенной на полусфере, равна силе тока, деленной на площадь полусферы:

(17)

По закону Ома , откуда, используя формулу (16), получим:

(18)

Теперь от соотношений (17) и (18) перейдем к формуле

(19)

Проинтегрировав это уравнение в пределах от ¥ до некоторого конкретного значения r, получим:

(20)

Итак, потенциал точечного источника пропорционален силе тока I и сопротивлению r и обратно пропорционален расстоянию до источника r. Очевидно, что напряженность электрического поля, как производная потенциала, будет убывать при удалении от точечного источника как 1/r².