Частотные критерии устойчивости.

В основе частотных критериев устойчивости лежит принцип аргумента, известный в теории функции комплексной переменной.

Принцип аргумента.

Дано характерное уравнение.

Пусть - корни характеристического уравнения,

По основной теореме алгебры ( теореме Виетта) можем записать.

То есть характеристическое уравнение есть произведение элементарных сомножителей, где - корни характеристического уравнения.

На комплексной плоскости корней каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый корень может быть изображен в виде вектора, проведенного из начала координат к точке .

Длина вектора равна модулю комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси – аргумент или фаза комплексного числа , т.е. .

Сомножители , входящие в , геометрически изображаются векторами, проведенными из точки в точку Каждый из этих векторов представляет собой разность двух векторов и .

Длина равна

Пусть (уравнение мнимой оси). Тогда вектор характеристического уравнения примет вид.

Концы каждого вектора будут находиться на мнимой оси.

представляет собой произведение элементарных векторов.

Из теории функции комплексной переменной известно, что длина такого вектора равна произведению длин элементарных векторов, а аргумента (угол поворота вектора характеристического уравнения при изменении частоты от минус бесконечности до плюс бесконечности)

Найдем

при изменении от - до + .

Считается поворот против часовой стрелки – положительным, а по часовой стрелке – отрицательным.

Пусть в системе -го порядка имеется – правых корней и левых корней.

Если корень находится в левой полуплоскости, то при изменении .

Если корень находится в правой полуплоскости, то при изменении ,то

Тогда при изменении - < + угол поворота вектора характеристического уравнения

Принцип аргумента: Угол поворота вектора характеристического уравнения при изменении равен где - порядок характеристического уравнения, а - количество правых корней.