Линейные разностные уравнения второго порядка
Определение 1.3. Линейным разностным уравнением второго порядка называется уравнение вида:
(1.7)
где – заданные функции от n. Если , то уравнение называется однородным. В противном случае - не однородным.
Если и постоянные, то (1.7) называют уравнением с постоянными коэффициентами.
Уравнение (1.7) можно решить методами, аналогичными методам решения уравнений первого порядка. Полагая , можно выразить через и . Полагая , выразим через , а затем через и . Теоретически таким образом можно выразить через и . Однако вычисления при этом оказываются очень громоздкими, и вывести общую формулу для крайне трудно. Случай постоянных коэффициентов поддается решению общими методами.
Рассмотрим линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
. (1.8)
Будем считать постоянными, причем .
Будем искать решение уравнения (1.8) в виде:
, (1.9)
где – некоторое число. Учитывая, что , из уравнения (1.8) получим:
,
или, (1.10)
Уравнение (1.10) называется характеристическим уравнением для разностного уравнения (1.8). Оно является квадратным и имеет следующие корни:
.
При решении характеристического уравнения следует рассматривать три случая. Два его корня могут быть действительными и различными (когда ); они могут быть действительными и равными между собой ( ) или же комплексными ( ).
Случай 1. Если , то описанный выше метод дает два решения уравнения (1.8): и . Общее решение имеет вид:
, (1.11)
где – произвольные постоянные.
Постоянные и можно выразить через значения . Полагая в решении (1.11) получаем:
или
Решая систему уравнений, находим:
, . (1.12)
Таким образом, если даны , то этим определено единственное решение уравнения (1.8).
Пример 1.7. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка Выписать общую формулу для , если и . Чему равно ?
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни
.
По формуле (1.11) общее решение имеет вид:
.
По формулам (1.12) находим:
.
Таким образом, единственным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является
.
При получаем .
Случай 2. Если , то корни характеристического уравнения (1.10) равны между собой: . Рассмотренный метод порождает лишь одно решение . Однако, другим решением уравнения (1.8) служит .
Тогда общее решение можно записать в виде:
, (1.13)
где и – произвольные постоянные. Чтобы убедиться в этом, подставим (1.13) в (1.8). Получим:
Первые два слагаемых обращаются в нуль, т.к. . Третье слагаемое равно нулю, поскольку и .
Итак, получим, что формула (1.13) дает общее решение уравнения (1.8).
Полагая и в (1.13), получим:
Отсюда, , . (1.14)
Пример 1.8. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка . Найти , если и .
Решение. Характеристическое уравнение имеет единственный корень . Поэтому общее решение уравнения имеет вид:
.
Полагая , , получаем и . Таким образом, . В частности, .
Случай 3. Если , то корни характеристического уравнения (1.10) являются комплексно-сопряженными числами:
, , (1.15)
где – мнимая единица .
Общее решение уравнения (1.8) записывается в виде:
, (1.16)
где , – произвольные постоянные, .
Постоянные , можно выразить, как и прежде, через и .
Решение (1.16) разностного уравнения (1.8) обладает интересными свойствами. Так как и с увеличением колеблются между значениями -1 и 1, решение также колеблется несколько более сложным образом. Свойство этого решения покажем на примере.
Пример 1.9. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка . Найти , если , а .
Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни , . Так как , , , то . Отсюда общее решение
.
Полагая и , получаем и . Искомое решение есть
.
В частности, , , , и т.д.
Пример 1.10. С целью анализа распространения инфекционных заболеваний в школе ведется запись вспышек кори. Согласно полученным оценкам, вероятность возникновения хотя бы одного нового случая заболевания спустя недель после вспышки удовлетворяет уравнению . Найдите , если и .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Учитывая формулу (1.13), получим:
.
Считая и , имеем:
.
.
Искомое решение есть
. (1.17)
Из (1.17) последовательно находим: , , , , . Отсюда заключаем, что через три недели вероятность нового случая кори становится меньше 50 %.
1.3. Метод вариации постоянных для разностных уравнений второго порядка
Рассмотрим линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
, (1.18)
с постоянными (при ).
Для решения уравнения (1.18) применим методы, использованные в
п. 1.2, но для простоты рассмотрим лишь случай действительных и различных корней .
Пусть – корни характеристического уравнения , соответствующего однородному уравнению (1.8). Тогда – общее решение (1.8), причем и – произвольные постоянные.
Идея метода вариации постоянных состоит в том, чтобы считать постоянные и зависящими от таким образом, что получается решение неоднородного уравнения (1.18). Согласно этому, будем искать решение в виде:
, (1.19)
где и могут изменяться вместе с .
Из (1.19) имеем:
.
Прибавив к правой части и отняв от нее величину , получим:
Для упрощения записи будем считать, что
, (1.20)
при любом значении . Тогда получим:
. (1.21)
Из уравнения (1.21) имеем: . Поступая как и выше, получим:
(1.22)
Подставив теперь выражения (1.22), (1.21), (1.19) в уравнение (1.18), получим:
Группируя слагаемые и приравнивая правую часть ,имеем:
(1.23)
Т.к. и – корни характеристического уравнения, то первые два выражения в квадратных скобках (1.23) обращаются в нуль и, значит,
(1.24)
Объединив (1.20) и (1.24), мы получим систему двух уравнений
(1.25)
относительно двух неизвестных и .
Решив систему, получим:
, (1.26)
. (1.27)
Уравнения (1.26) и (1.27) представляют собой линейные разностные уравнения первого порядка, которые можно решить методами п.1.1.
Решая (1.26), получаем:
,
,
,
…
(1.28)
Аналогично для уравнения (1.27) имеем общее решение
(1.29)
Т.о., общее решение уравнения (1.18) запишется в виде
, (1.30)
где и выражаются формулами (1.28), (1.29).
Если известны и , то постоянные и находим из уравнений , .
Пример 1.11. Если бы популяция рыб росла, не подвергаясь внешним возмущениям, то ее прирост в -м году был бы вдвое больше прироста в -м году. Однако в исследовательских целях к популяции ежегодно добавлялось по 100 рыб. Найти – численность популяции рыб в -м году, если , .
Решение. Численность рыб удовлетворяет разностному уравнению второго порядка
Или .
Здесь . Характеристическим служит уравнение с корнями . Общее решение уравнения имеет вид:
.
По формулам (1.28), (1.29) находим:
.
.
Таким образом, .
Найдем постоянные и . При и имеем:
Отсюда , , а искомое решение есть
.
В частности, , , . Ясно, что численность рыб продолжает очень быстро возрастать.
Дата добавления: 2017-01-08; просмотров: 4127;