Порядки и слабые порядки

Антисимметричное, транзитивное нечеткое отношение называется отношением упорядочения или порядком. Мы будем рассматривать только строгие порядки, т.е. порядки, для которых выполняется свойство антирефлексивности. Свойства нестрогих (рефлексивных)порядков во многом совпадают со свойствами строгих порядков.

Различные порядки отличаются друг от друга требованиями, предъявляемыми к условию транзитивности. Слабейшее из этих требований — условие ацикличности отношения строгого порядка , наиболее жесткие требования — условия линейной транзитивности и условие квазисерийности.

Если для отношения сходства условие транзитивности обычно записывают в виде и различные способы определения операции композиции позволяют задавать разные типы транзитивности, причем оказывается, что таких типов существует не так уж и много, то для отношения порядка условие транзитивности нечеткого отношения удобно записывать в виде, аналогичном условию транзитивности обычных порядков:

где — некоторая операция в . Оказывается, что из множества всех отношений порядка можно выделить значительное количество отличающихся друг от друга классов порядков специального вида, определяемых как способом задания операции в , так и способом записи условия транзитивности. Далее перечислим некоторые условия транзитивности, определяющие эти классы нечетких строгих порядков. Учитывая асимметричность отношения строгого порядка , будем полагать , если .

Ацикличность:

Слабая транзитивность:

Отрицательная транзитивность:

( )- транзитивность:

( )- транзитивность:

( )- транзитивность:

Сильная транзитивность:

Сверхсильная транзитивность:

Метрическая транзитивность:

Квазисерийность:

Ультраметрическая транзитивность:

В общем случае предполагается, что рассмотренные условия транзитивности определены для , хотя некоторые условия могут быть обобщены и на случай, когда является решеткой.

Условия ацикличности, слабой транзитивности и отрицательной транзитивности нечеткого отношения равносильны соответственно условиям ацикличности, транзитивности и отрицательной транзитивности обычного отношения , определяемого следующим образом:

Аналогичные свойства могут быть определены как -свойства для различных -уровней отношения .

В отличие от первых трех свойств, остальные свойства более специфичны для нечетких отношений и в большей мере учитывают согласованность силы отношения между элементами множества . Для этих свойств также могут быть сформулированы -свойства.

Частным случаем сильного порядка (порядка, удовлетворяющего условию сильной транзитивности) является метрический порядок. Для асимметричных отношений условие метрической транзитивности эквивалентно неравенству треугольника.

Условие квазисерийности определяет нечеткую квазисерию. Каждый -уровень нечеткой квазисерии является обыкновенной квазисерией, т.е. удовлетворяет условиям

Поскольку обычная квазисерия определяет разбиение множества на упорядоченные классы эквивалентности, нечеткая квазисерия определяет разбиение множества на упорядоченные классы эквивалентности на каждом -уровне. Эти разбиения вложены друг в друга; таким образом, нечеткая квазисерия определяет иерархию разбиений множества на упорядоченные классы эквивалентности.

Частным случаем метрических порядков, помимо квазисерии, является линейный порядок, определяемый условием линейной транзитивности. Линейный порядок при интерпретации как силы предпочтения альтернативы над альтернативой задает на множестве альтернатив некоторую аддитивную функцию полезности, которая может быть определена на , например, с помощью соотношения .

Ультраметрическая транзитивность построена по аналогии с метрической транзитивностью, однако для антисимметричныхотношений она не эквивалентна ультраметрическому неравенству .

Между строгими порядками (асимметричными отношениями) и слабыми порядками (рефлексивными отношениями) существует тесная связь. Эти порядки могут быть получены друг из друга с помощью ряда преобразований.

Если на задана операция дополнения, т.е. такая унарная операция , что на выполняются тождества

то на множестве нечетких отношений может быть задана операция дополнения следующим образом:

и на множестве нечетких отношений будут выполняться тождества

Если на множестве нечетких отношений задана операция дополнения, то из отношения строгого порядка могут быть получены:

Отношение сходства

Отношение различия

Отношение слабого порядка

Транзитивностью отношения определяется тот или иной уровень транзитивности отношений и . В частности, если является нечеткой квазисерией, то определяемое им отношение является нечетким отношением эквивалентности, аотношение будет нечетким квазипорядком.

Нечеткие отношения порядка могут быть получены многими способами и допускают различную интерпретацию. Они могут выражать либо значение какого-либо физического параметра, характеризующего интенсивность доминирования над , либо усредненную по множеству критериев или индивидуумов силу предпочтения между объектами. Они могут быть получены с помощью шкалы сравнений, которой эксперты измеряют интенсивность предпочтений при попарных сравнениях альтернатив, могут выражать уверенность, возможность, вероятность доминирования и т.п.