Задачи нечеткой классификации

Пусть имеется набор фотографических портретов всех членов нескольких семей. Требуется разделить этот набор на группы так, чтобы в каждой оказались портреты членов только одной семьи. Пусть — функция принадлежности нечеткого бинарного отношения сходства на заданном наборе фотографий. Для каждой пары фотографий и значение есть субъективная оценка человеком степени сходства и . Это нечеткое отношение можно рассматривать как своего рода "экспериментальные данные", отражающие понимание человеком понятия "сходства" в данной задаче. Следующий этап — использование этих "данных" для требующейся классификации фотографий.

Заметим, что нечеткое отношение обладает естественными свойствами рефлексивности и симметричности. Оно называется одношаговым отношением, в том смысле, что описывает результаты лишь попарного сравнения портретов друг с другом. Для вводится -шаговое отношение следующим образом:

Это отношение является -арной композицией исходного "экспериментального" отношения и представляет собой в некотором смысле его уточнение. Нетрудно показать, что для любых выполняется цепочка неравенств

из которой следует, в частности, что для любых последовательность имеет предел при . Таким образом, существует предельное отношение сходства, определяемое равенством

Это предельное отношение является конечным результатом обработки результатов нечетких измерений и следующим образом используется для классификации.

Для произвольного числа ( ) вводится обычное (не нечеткое) отношение :

Нетрудно показать, что для любого ( ) есть отношение эквивалентности в , т.е. для любых выполняются обычные аксиомы эквивалентности

(1) — рефлексивность,

(2) — симметричность,

(3) — транзитивность.

Заметим, что (3) есть следствие того, что предельное нечеткое отношение обладает свойством нечеткой транзитивности

Окончательный этап алгоритма классификации — разбиение множества на классы эквивалентности по полученному отношению .

Выбор величины порога в этом алгоритме осуществляется, исходя из условий начальной задачи. В приведенном выше примере с фотографиями этот выбор осуществляли следующим образом. Пусть имеется набор из 20 фотографий представителей 3 семей. Тогда величину выбирают так, чтобы в результате реализации алгоритма классификации получилось 3 класса эквивалентности по отношению .