Проекции нечетких отношений

Важную роль в теории нечетких множеств играет понятие проекции нечеткого отношения. Дадим определение проекции бинарного нечеткого отношения.

Пусть — функция принадлежности нечеткого отношения в . Проекции и отношения на и — есть множества в и с функцией принадлежности вида

Условной проекцией нечеткого отношения на , при произвольном фиксированном , называется множество с функцией принадлежности вида .

Аналогично определяется условная проекция на при заданном :

Из данного определения видно, что проекции и не влияют на условные проекции и , соответственно. Дадим далее определение, которое учитывает их взаимосвязь.

Условные проекции второго типа определяются следующим образом:

Если или , то полагаем, соответственно, что или .

Заметим, что условные проекции первого типа содержатся в соответствующих проекциях второго типа.

Пусть и — базовые множества, — нечеткое отношение в и и — его проекции на и , соответственно.

Нечеткие множества и называются независимыми, если

Следовательно, они независимы по первому типу, если

и независимы по второму типу, если

В противном случае проекции и являются зависимыми (соответствующего типа).

Независимость второго типа можно интерпретировать следующим образом. Данные соотношения с учетом произвольности и перепишем в виде