Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.


Минором Mij элемента определителя D= , где i и j меняются от 1 до n, называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, минор M12, соответствующий элементу определителя

,

Получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец, т.е.

.

Например, а) записать все миноры определителя.

Решение.

;

 

б) записать все миноры определителя

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя D называется минор Mij этого элемента, взятый со знаком (-- 1)i+j. Алгебраическое дополнение элемента aij принято обозначать Aij.

Таким образом, Aij = (--1) i+jMij

в) найти алгебраические дополнения элементов a13, a21,a31 определителя

Решение.

A13 = (--1)1+3

A21 = (--1)2+1

A31 = (--1)3+1

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца

Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е.

D = ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin

или

D = a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj

Эти соотношения называются разложением определителя, но элементам i-й строки или j-го столбца.

Например, определитель

разложить: а) по элементам 1-й строки; б) по элементам 2-го столбца.

Решение.

а)

б) .

Если определитель имеет четвертый или более высокий порядок, то его также можно разложить по элементам строки или столбца, а затем понижать порядок алгебраических дополнений.

Например, вычислить определитель

Решение. Разложим определитель по элементам 1-й строки (так как она содержит два нулевых элемента):

 

· .

Поскольку второй и четвертый члены разложения равны нулю, имеем

.

Перечислим различные способы вычисления определителей:

1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно находить определители второго и третьего порядков, а для определителя более высокого порядка применим следующий способ.

2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца.

3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства 7 треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Чтобы получить треугольный определитель, нужно, используя свойство 6, к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, до тех пор, пока не придем к определителю треугольного вида.

Пусть, например, требуется вычислить определитель:

Вычитая первую строку из всех остальных, сразу получим определитель треугольного вида:

 

Литература

1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань» , 2011, - 464с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература).

2.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.

 

3.Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум - Инфра – М, 2006. – 552с.

Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. М.: Оникс 21 веек, 2003.- 303с., 415 с.

 



Дата добавления: 2021-04-21; просмотров: 376;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.012 сек.