Передаточные функции импульсных систем

Очень часто замкнутые импульсные системы (см. рис. 15.10) с АИМ задаются параметрами импульсов и передаточной функцией непрерывной части. В этом случае модель системы в форме разностных уравнений (15.12) или в форме передаточных функций или (15.18) можно найти двумя способами.

Первый способ заключается в том, что сначала от заданной переходят любым из известных способов к уравнениям непрерывной части в переменных состояния (15.4), (15.5), а затем применяют приведенные выше соотношения (15.8) – (15.18).

Другой способ заключается в определении непосредственно по . В этом случае имеющийся в системе (рис. 15.10) импульсный элемент (ИЭ) заменяется последовательно соединёнными ключом K, работающим с периодом Т, и формирующим элементом (ФЭ) (рис. 15.11). При этом импульсная переходная функция формирующего элемента совпадает с функцией, описывающей форму исходного (единичного) импульса. Поэтому передаточная функция формирующего элемента определяется выражением

, (15.20)

где – функция, описывающая единичный импульс реального импульсного элемента; – обозначение непрерывного преобразования Лапласа.

Например, если импульсный элемент системы формирует прямоугольные импульсы длительностью , то функция . Поэтому по формуле (15.20) для случая прямоугольных импульсов имеем

. (15.21)

Отметим, что если выходными сигналами импульсного элемента являются -импульсы, то в соответствии с (15.20) .

Указанное представление реального импульсного элемента позволяет представить структурную схему импульсной системы (см. рис. 15.10) в разомкнутом состоянии, как показано на рис. 15.11. На этом рисунке обозначено

, (15.22)

причём совокупность непрерывной части и формирующего элемента называется приведённой непрерывной частью.

Дискретная передаточная функция этой системы определяется выражением

. (15.23)

Здесь – преобразование, которое функции ставит в соответствие функцию , т.е. . Для выполнения -преобразования в (15.23) удобнее всего разложить на простейшие дроби, а затем заменить эти дроби соответствующими z-изображениями (например, взятыми из таблиц, содержащими изображения по Лапласу непрерывных и дискретных функций).

Рассмотрим этот способ определения W_p(z) на конкретном примере.

Пример 15.3.Пусть , а импульсный элемент формирует прямоугольные импульсы длительностью , где число . Найти дискретную передаточную функцию импульсной системы в разомкнутом и замкнутом состоянии, если обратная связь единичная и отрицательная.

Решение. Так как импульсы прямоугольные, то согласно (15.21) и (15.22), имеем

, .

Представим эту функцию следующим образом:

.

-изображения обычных и запаздывающих дробей, содержащихся в данном выражении, определим с помощью таблицы, приведенной в приложении П.1. В данном случае имеют место соответствия:

, ,

, ,

где .

Умножая найденные -изображения на соответствующие коэффициенты из разложения и суммируя, получим искомую передаточную функцию

. (15.24)

Здесь , , .

Так как в рассматриваемой системе обратная связь единичная и отрицательная, т.е. , то по второй формуле (15.18) с учетом (15.24) найдем

. (15.25)

Для получения уравнения «вход-выход» дискретной системы достаточно перейти, как показано в примере 15.2, от найденной передаточной функции (15.25) к этому уравнению. ■

Отметим, что если непрерывная часть системы полная, то степень знаменателя передаточной функции (15.23) должна быть равна степени знаменателя или размеру матрицы уравнений в переменных состояния (15.4) непрерывной части (т.е. без учета импульсного элемента).

Рассматриваемую в данном параграфе задачу определения по можно решить и в MATLAB. Приведём пример для случая численных значений параметров непрерывной части и импульсного элемента. При этом рассмотрим случай, когда длительность импульсов равна периоду их следования, а непрерывная часть имеет запаздывание.

Пример 15.4. Допустим, непрерывная часть цифровой САУ имеет передаточную функцию

.

Период следования импульсов на выходе ЦАП Т = 0,15 с. Найти соответствующую .

Решение в MATLAB. Длительность импульсов на выходе ЦАП равна периоду их следования. Поэтому в данном случае и вводятся следующие

% команды:

w = tf(1.2, [0.7 1.2 0],'InputDelay',0.3);

wd = c2d(w,0.15)

% результат

Transfer function:

0.01773 z + 0.01628

z^(-2) * ----------------------

z^2 - 1.773 z + 0.7733

Sampling time: 0.15

Таким образом, передаточная функция рассматриваемой системы в разомкнутом состоянии имеет вид

. ■

Рассмотрим один из возможных алгоритмов перехода от передаточной функции дискретной системы к её уравнениям в переменных состояния. Если дискретная система имеет несколько выходов и один вход, то целесообразно применять соотношения соответствующие канонической управляемой форме. Напротив, если система имеет несколько входов и один выход, то целесообразно применять соотношения соответствующие канонической наблюдаемой форме. Если же дискретная система имеет несколько входов и выходов, то при выборе соответствующих соотношений целесообразно руководствоваться рекомендациями, изложенными в [3. С. 126 – 130].

Предположим, найдена передаточная функция дискретной системы с одним входом и