Синтез систем управления на основе УФЖ

Рассмотрим решение задачи синтеза нелинейных управлений с применением УФЖ на конкретных примерах.

Пример 14.3. Рассмотрим управляемый объект, который описывается системой уравнений Рёсслера

, , , (14.45)

где , , . В девятой главе было показано, что при отсутствии управления данный объект совершает хаотические колебания (см. рис. 9.1). Найдём управление, при котором эти колебания будут отсутствовать.

Решение. При u = 0 данный объект имеет два положения равновесия, одно из которых определяется значениями переменных: , , .

Уравнения УФЖ (14.26), (14.27) записываются в отклонениях от положения равновесия, поэтому введём замену переменных: , , . В результате уравнения объекта (14.45) примут вид

, ,

, (14.46)

который соответствует уравнениям (14.26), (14.27) при n =3. Далее по (14.46) находим частные производные:

, .

Очевидно, в данном случае условия (14.28) выполняются, следовательно, уравнения (14.46) заданного объекта (14.45) имеют УФЖ, и искомое управление можно найти с помощью приведенных выше аналитических соотношений.

С этой целью по формулам(14.29) и (14.30) с учетом обозначений в (14.46) определяются вспомогательные переменные:

, ,

, (14.47)

,

, (14.48)

и по (14.31) с учетом (14.47), (14.48) записывается управление

. (14.49)

Возвращаясь к исходным переменным , в равенствах (14.47) – (14.49) с учетом выражений для координат положения равновесия, будем иметь: , , ,

, (14.50)

где

, (14.51)

. (14.52)

Таким образом, искомое управление в исходных переменных заданного объекта управления (14.45) определяется выражениями (14.50) – (14.52).

На рис. 14.1 приведены графики переходных процессов по переменным: и , полученные в результате моделирования системы (14.45), (14.50) – (14.52) в системе MATLAB при , , и начальных значениях . Как видно, переходные процессы синтезированной системы являются затухающими, а система стремится к указанному выше положению равновесия. ■

В рассмотренном примере уравнения объекта привелись к УФЖ уже после перехода к отклонениям. В общем случае, для этой цели требуются более сложные преобразования, некоторые из которых рассмотрены в предыдущем параграфе.

Пример 14.4. Найти управление , стабилизирующее «перевёрнутый» маятник в верхнем положении. Управление маятником осуществляется вращением установленного на нём маховика. Уравнения этого маятника имеют следующий вид:

, , . (14.53)

Здесь и – угол и скорость отклонения маятника от верхнего положения равновесия; – угловая скорость вращения маховика; u – напряжение якоря приводного двигателя маховика (управление); , – числовые параметры, не равные нулю, , .

Решение. Заданные уравнения (14.53) очевидно представлены не в УФЖ. Для приведения их к этой форме сначала применим преобразование (14.40) при . В результате получим

, (14.54)

где , , .

В данном случае исходная система (14.53) такова, что , поэтому для приведения уравнений (14.54) к УФЖ переобозначим переменные: , , . В результате уравнения маятника примут вид

, , , (14.55)

который по форме соответствует уравнениям (14.26), (14.27) при . Условия (14.28) здесь имеют вид:

, (14.56)

и, очевидно, выполняются в области , которая определяется двумя неравенствами: и . Следовательно, уравнения (14.55) имеют УФЖ в области , и решение задачи синтеза искомого управления существует. Вводя по (14.29) переменные , будем иметь:

, ,

.

Определив по (14.30) и , а по (14.31) – управление , перейдём затем к исходным переменным , , . В результате после некоторых преобразований с учетом (14.54) получим следующее выражение:

, (14.57)

где

,

,

, . (14.58)

При этом указанная выше область , определяемая условиями (14.56), переходит в область , где

, , . (14.59)

Итак, если начальные условия таковы, что при всех выполняются условия

(14.59), то управление (14.57), (14.58) обеспечивает асимптотическую устойчивость верхнего положения равновесия рассматриваемого маятника. ■

Пример 14.5.Синтезировать управление для преобразователя, повышающего напряжение постоянного тока. Он представляет собою совокупность источника постоянного напряжения, индуктивности и ёмкости, к которой подключена активная нагрузка. Токи через индуктивность и ёмкость коммутируются с некоторым периодом. Усреднённые за период изменения тока и напряжения описываются уравнениями

, . (14.60).

Здесь – ток в индуктивности L, – напряжение на ёмкости C, – напряжение источника постоянного напряжения, – сопротивление нагрузки, u₁ – управление, причём . В установившемся режиме ток и напряжение , согласно (14.60), связаны соотношением .

Задача управления заключается в поддержании напряжения , равным заданному , независимо от величины нагрузки.

Решение. В рассматриваемом случае , т.е. уравнения (14.60) также не соответствуют УФЖ. При этом условие (14.42) выполняется, т.е. уравнения (14.60) можно привести к УФЖ соответствующим преобразованием координат. Для его отыскания воспользуемся соотношениями (14.44), согласно которым можно положить: , . Отсюда, принимая для простоты , получим . Здесь вводятся сначала переменные , , так как в (14.60) вектор x не является вектором отклонений. При и уравнения (14.60) переходят в уравнения

, .

Полагая здесь , , где и – установившиеся значения переменных, приведём уравнения данного преобразователя к виду, соответствующему УФЖ:

, (14.61)

, (14.62)

где

. (14.63)

Левая часть первого условия (14.28) (при ) здесь имеет вид

. (14.64)

Так как напряжение преобразователя и выражение в числителе дроби в (14.64) не меняют своих знаков, то условие (14.28) в данном случае выполняется, и задача синтеза имеет решение. Вводя переменные и по (14.29) и определяя функции и по (14.30) с учетом (14.61) – (14.63), будем иметь

, , (14.65)

, . (14.66)

Выражения (14.63) – (14.66) позволяют записать управление как функцию переменных , , значений , , и других параметров преобразователя и нагрузки. Мы не будем приводить его, а сразу запишем управление в исходных переменных , :

. (14.67)

Здесь , . ■

Таким образом, если уравнения нелинейного объекта представлены или приведены к управляемой форме Жордана, то стабилизирующее управление определяется аналитически в виде нелинейных обратных связей по переменным состояния объекта.

Г л а в а 15