Приведение уравнений объектов к УФЖ

В общем случае уравнения объектов управления по форме не соответствуют уравнениям УФЖ (14.26) – (14.28). Поэтому для построения управления по формулам (14.29) – (14.31) необходимо предварительно привести их к УФЖ. Рассмотрим подробнее порядок приведения уравнений некоторых объектов к этой форме.

Постоянный вектор . Предположим, уравнения некоторого объекта n-го порядка имеют вид

, , (14.39)

где – дифференцируемая не менее раз вектор-функция.

Будем считать, что уравнение (14.39) не соответствует УФЖ, и без ограничения общности примем, что (в противном случае переменные переобозначаются). Это позволяет ввести преобразование

, , (14.40)

где – новый вектор переменных, а

, .

Преобразование (14.40) приводит уравнение (14.39) к виду , где . Эта система имеет УФЖ лишь в некоторых частных случаях. Поэтому чаще всего требуется дополнительное преобразование переменных .

Ограничимся далее случаем и введём обозначения . Тогда если , и , в некоторой области , то полагают , а если , а и в некоторой области , то полагают , , . В результате относительно вектора уравнения объекта оказываются в УФЖ.

Если же и , то используется дополнительное преобразование вида , , . При этом функция определяется решением дифференциального уравнения

(14.41)

при . Здесь предполагается, что решение уравнения (14.41) зависит только от переменной , что приводит, естественно, к некоторым ограничениям рассматриваемого метода синтеза нелинейных САУ для объектов типа (14.39).

Тем не менее, на практике достаточно часто встречаются объекты, уравнения которых приводятся к УФЖ указанным преобразованием. В общем случае можно ввести преобразование , , . При этом условия и при приводят к уравнениям в частных производных, которые позволяют найти и . Аналогичным образом могут быть приведены к УФЖ уравнения объектов других типов с постоянным вектором входа , а затем синтезировано стабилизирующее управление.

Переменный вектор . Ограничимся здесь рассмотрением методики приведения к УФЖ уравнений (14.39) нелинейных объектов второго порядка с переменным вектором входа, т.е. с вектором . При этом по тем же причинам, что и выше будем предполагать, что в некоторой области выполняются условия и , и, кроме того, эти функции являются дифференцируемыми.

Установлено, что взаимообратные преобразования и , которые приводят уравнение (14.39) второго порядка к УФЖ, существуют, если выполняется следующее условие:

, (14.42)

где , .

Если условие (14.42) выполняется, то для построения, например, преобразования относительно новых переменных и , по аналогии с матрицей Т₁ из (14.40), можно полагать

, , , (14.43)

где , – некоторый интегрирующий множитель, а – новое управление. Проинтегрировав уравнения (14.43) и выбрав постоянные интегрирования по условиям и , найдём искомое преобразование , которое приводит заданное уравнение (14.39) при и к УФЖ.

Для построения обратного преобразования при выполнении условия (14.42) полагают

, , . (14.44)

В результате интегрирования этих уравнений с учётом условий и находится преобразование , которое приводит уравнение (14.39) к УФЖ.

Условия существования и методика построения преобразований или , приводящих к УФЖ уравнения произвольных нелинейных объектов управления общего вида пока не известны.