Лекция 3 Системы счисления
3.1 Основные понятия
3.2 Двоичная система счисления
3.3 Смешанные системы счисления
3.4 Перевод чисел в системах счисления
Основные понятия
Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.
При этом в любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы, которые называются базисными символами, а все остальные числа получаются в результате операций над базисными символами.
В современном мире широко распространена десятичная система счисления, которая представлена десятью базисными символами:
0,1,2,3,4,5,6.7,8,9.
Получение любых других чисел обеспечивается за счет различного позиционного сочетания базовых символов, например, число 1604 представлено всего четырьмя базисными символами, расположенными в соответствующих местах:
1 6 0 4
В римской системе счисления базисными символами являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 с соответствующими знаковыми обозначениями:
I, V, X, L, C, D, M.
При этом другие числа получаются сложением или вычитанием базисного символа по следующему алгоритму:
- если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются;
- если цифра слева меньше, чем цифра справа то левая цифра вычитается из правой цифры.
Так, например, число 14610 десятичной системы счисления в римской системе счисления имеет вид:
CXLVI,
где С– 10010, XL -4010,VI – 610.
Системы счисления, в которых любое число получается путем сложения или вычитания базисных символов называются аддитивными. Например, римская система счислений.
Системы счисления, в которых любое число представляется только позиционным весом базовой цифры, называются позиционными. Например, десятичная система, в которой значение цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, обозначающих число. При этом, система счислений основывается на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, а каждый разряд имеет вес равный степени 10.
Для числа 525,3510 цифра 5 повторена три раза, но каждый раз она означает различное число, а рассмотренное число можно представить следующим образом:
525, 35 =
Таким образом, десятичная система записи любого числа Х10 в виде последовательности цифр имеет вид:
и основывается на представлении этого числа в виде полинома
,
где каждый коэффициент может быть одним из базисных чисел.
Определение. Число К единиц какого-либо разряда, объединенных в единицу старшего разряда называется основанием позиционной системы. Так, например, для десятичной системы объединением цифр 1 и 0 образуется старший разряд, т.е. основанием системы является число 10.
Для двоичной системы К = 2,
для троичной системы К=3,
для восьмеричной системы К=8 и т. д.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 430;