Транспонирование ММ

Операция обозначается верхним индексом «Т» и заключается в замене структуры индексов на противоположную и в последующем упорядочении индексов в соответствии с правилами помечивания. Например, если

A = A(1,2) = { }, то B = AT = B(2,1) = { },

так что = .

6.2.4.Свернутое произведение ММ

Оно образуется по следующим правилам:

1. Свертка индексов производится тогда и только тогда, когда первый сомножитель содержит строчные индексы, а второй – столбцовые, и размеры соответствующих индексов (столбцового и строчного) совпадают.

2. Свертка строчных индексов первого сомножителя по столбцовым индексам второго сомножителя производится в соответствии с их естественным порядком: первый строчный индекс первого сомножителя свертывается с первым столбцовым индексом второго сомножителя, второй – со вторым и т.д.

3. Свертка двух индексов заключается в том, что элемент результата образуется путем суммирования произведений элементов сомножителей по свернутому индексу. При этом два свернутых индекса обозначаются одинаково и теряют свою структуру.

Обращение ММ

Многомерная матрица В = А^-1 называется обратной по отношению к матрице А = (р,р), если выполняются следующие соотношения:

А(р,р)×В = В×А(р,р) = Е(р,р). (6.1)

Обратная многомерная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель исходной гиперквадратной матрицы отличен от нуля. Численное обращение квадратной матрицы может осуществляться путем плоского обращения ее двумерного табличного представления.

Таким образом, общее правило получения обратной матрицы можно записать следующим образом.

1. Обратная матрица строится на основе обращения ее табличного представления.

2. Индексы обратной матрицы располагаются так же, как при транспонировании матрицы. Построенная таким образом матрица определяет структуру обратной матрицы, а значения элементов устанавливаются по табличному представлению обратной матрицы.

Многомерные обратные матрицы могут использоваться для представления решения линейных многомерно-матричных уравнений типа А(р,р)×Х(р,0) = В(р,0), которое дается соотношением

Х(р,0) = А^-1(р,р)×В(р,0).