Расчет элементов конструкций

4.8.1 Основы расчета на прочность центрально растянутых или сжатых элементов

Поведение их под нагрузкой, при условии обеспечения устойчивости сжатого элемента, полностью соответствует работе материала при простом растяжении - сжатии.

Предполагается, что напряжения в поперечном сечении элементов распределяются равномерно. Для обеспечения несущей способности таких элементов необходимо, чтобы эти напряжения от расчетных нагрузок в сечении с наименьшей площадью не превышали расчетного сопротивления.

Таким образом, в соответствии с основным неравенством первого предельного состояния имеем

s = N/A_n £ R·g_c, (4.5)

где R = R_y - если в стержне не допускается развитие пластических деформаций, если пластические деформации допустимы, то R равняется наибольшему из 2-х значений R_y и R_n/g_u, где g_u = 1.3 - коэффициент надежности по материалу при расчете конструкций по s_в.

Проверка по второму предельному состоянию сводится к ограничению удлинений (укорочений) стержня от нормативных нагрузок

£ D, (4.6)

где l – расчетная длина стержня;

D - предельная величина удлинения (укорочения).

4.8.2 Основа работы и расчета изгибаемых элементов

В соответствии с гипотезой плоских сечений Бернулли, изменение деформаций по высоте сечения балок происходит по линейному закону, напряжения распределяются аналогично только до s_т (рисунок 4.6).

Напряжения в точках, находящихся на расстоянии "у" от нейтральной оси, определяются по формуле

s = . (4.7)

Рисунок 4.6 – Изменение эпюры напряжений в изгибаемом элементе при развитии пластических деформаций в материале

Максимальное s возникает в крайней фибре сечения, при у = h/2

s_max = , (4.8)

где W_x = J_х·2/h - момент сопротивления,

т.е. s_max = . (4.9)

Таким образом, проверка прочности изгибаемых элементов, работающих в пределах упругих деформаций по первому предельному состоянию, производится по следующим формулам

s_max = £ R_y·g_c и t_max = £ R_s·g_c. (4.10)

По второму предельному состоянию наибольший прогиб балки от нормативной равномерно распределенной нагрузки сравнивается с предельной величиной прогиба по СНиП 2.01.07-85 "Нагрузки и воздействия".

f_max = £ f_u. (4.11)

Для балок, загруженных сосредоточенной силой Р_n в середине пролета, проверка осуществляется по формуле

f_max = £ f_u. (4.12)

Появление фибровой текучести не исчерпывает несущую способность элемента, т.к. в глубине сечения s < s_т и стержень будет оказывать сопротивление при росте нагрузки.

Это приведет к росту деформаций, а рост s будет ограничен s_т и упругое ядро будет уменьшаться. Кривизна "r" » "у", а значит прогиб балки "у" будет резко нелинейно возрастать (рисунок 70), а несущая способность асимптотически приближаться к предельной М_пл. Эта стадия называется упругопластической, график деформаций вырождается в горизонтальную линию (e®±¥), но практически это невозможно, т.к. материал обладает ограниченной деформативностью e_lim, после которой происходит разрушение при a_min > 0. Поэтому, с небольшой погрешностью (для упрощения), можно использовать предельную эпюру (рисунок 4.7, в).

Кинематически эта стадия соответствует шарнирному механизму, т.е. возможен взаимный поворот частей балок, разделенных рассматриваемым сечением.

Поэтому, условный шарнир, получил название пластический шарнир, определяющий предельную несущую способность изгибаемого элемента. В отличие от механического, пластический шарнир исчезает, как только «М» меняет направление, т.к. материал при этом восстанавливает упругие свойства.

Предельный момент в шарнире пластичности определяется

М_пл = s_т· ·dA = s_т·( + ) = s_т·W_пл, (4.13)

где W_пл = 2·S - пластический момент сопротивления.

Рисунок 4.7- Рост кривизны балки прямоугольного сечения (1) и двутавровой балки (2) при развитии в материале пластических деформаций

Введем коэффициент:

с = W_пл/W = М_пл/M, (4.14)

характеризующий резерв несущей способности балки, или иногда, называют коэффициентом, учитывающий степень развития пластических деформаций и зависящий от формы сечения.

Значения коэффициента "с": для прямоугольного - с = 1.5; прокатного двутавра - с = 1.1 и составного двутавра - с = 1.2 – 1.04.

Распределение пластических деформаций по длине балки зависит от типа опор и характера распределения нагрузки по ее длине (рисунок 4.8).

а – расчетная схема балки: б – эпюры напряжений в различных сечениях балки: в – эпюры изгибающих моментов; 1 – зона пластических деформаций; МI – предельная эпюра при упругой работе материала; МII – то же, при появлении пластического шарнира

Рисунок 4.8- Распределение пластических деформаций в балке

Таким образом, проверка прочности изгибаемых элементов при наличии пластических деформаций (для сталей R_y < 530 мПа) производится по формулам

£ R_y·g_c или £ R_y·g_c×с. (4.15)

При многокомпонентном напряженном состоянии проверку прочности балки выполняют по формуле

s_пр = £ 1.15 ·R_у·g_с, (4.16)

где 1.15 – коэффициент, учитывающий развитие пластических деформаций.

Формулы (4.22) СНиП допускают использовать при наличии двух компонент s_х и t_ху, когда t_ху < 0.5·R_S, а при большем значении t_ху знаменатель умножается на коэффициент b < 1, зависящий от t.

При изгибе относительно двух главных осей (косой изгиб) проверку прочности с учетом пластических деформаций осуществляют по формуле

+ £ R_y·g_c при t £ 0.5·R_S. (4.17)

4.8.3 Основы работы и расчета на устойчивость центрально сжатых стержней

Длинные гибкие стержни исчерпывают несущую способность от потери устойчивости и характеризуются приведенным графиком (рисунок 4.9, б).

При этом, с ростом нагрузки, стержень находится в устойчивом состоянии при N < N_сr, при N = N_сr - стержень начинает резко выпучиваться и в неустойчивом при N > N_сr - теряет несущую способность.

а – расчетная схема; б – зависимость между нагрузкой и прогибом стержня   Рисунок 4.9- Работа центрально-сжатого стержня

Строгое определение этих состояний даются на основе энергетических принципов.

При фиксированном N = const, давая стержню возможное перемещение, подсчитываются приращения внешних сил d·N_e и внутренних d·N_i сил.

Если, d·N_i > d·N_e - устойчивое состояние, при d·N_i < d·N_e неустойчивое, при

d·N_i = d·N_e - критическое.

Сила N = N_сr", при которой стержень теряет несущую способность (устойчивость) называется критической.

При описании устойчивости стержней, приращения работ на возможных перемещениях можно заменить приращениями соответствующих моментов d×M_e и d×M_i.

Рассмотрим два случая:

I. Для идеально упругого и прямолинейного стержня при N=const dM_e=N×V (V - амплитута прогиба), а dM_i =r·EJ, (r=-у") - кривизна. Задавая форму возможного перемещения стержня по синусоиде у = -V·sin px/l_o, получаем r=-у" (x=l_o/2= p²·V/l_o²). Подставляя это значение в dM_i иdM_e и приравнивая dM_i=dM_e получим значение первой критической силы (формула Эйлера 1744г.)

N'_cr=p²·EJ/l_o², (4.18)

тогда, критическое напряжение будет равно

s_cr= , (4.19)

где ; l=l_o/i; l_o= m·l - расчетная длина стержня;

m - коэффициент приведения, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Эта формула справедлива при Е = const, т.е. s_cr£s_пц т.к. l³p и s_пц=20 кН/см², то l ³ 100. Для сталей повышенной прочности применимость (2.19) ограничена l ³ 85.

II. При l меньше предельных, стержни теряют устойчивость в упруго-пластической стадии с касательным модулем упругости Е_t = ds/dε <E. Для этого случая проф. Ясинский Ф.С. предложил следующую схему работы стержня при потере устойчивости: N = const, равномерное распределение s по сечению s_o = N/A > s_пц (рисунок 4.10).

а – эпюра напряжений; б – поперечное сечение стержня   Рисунок 4.10- Напряженно-деформированное состояние центрально сжатого стержня в момент потери устойчивости

При прогибе стержня с амплитудой "V", на сжатой стороне "s" будут увеличиваться в соответствии с Е_t, а на противоположной стороне на сжатие от N накладывается растяжение от изгиба, т.е. произойдет разгрузка, которая следует упругому закону s = ε·Е. Поэтому, эпюра s будет ассиметричной, нейтральная ось переместится и появится дополнительный эксцентриситет "а" силы N.

Тогда, приращение момента внешней силы будет

δМ_е = N·(V + a), (4.20)

а для внутренних сил приращение определится суммой интегралов по площадям А₁ и А₂:

δМ_i = s₁·y·dA + s₂·y·dA = ρ·(E·J₁ + E·J₂) = ρ·T·J, (4.21)

где Т = (EJ₁ + EJ₂) / J - приведенный модуль деформации.

Тогда, из равенства δМ_е = δМ_i получим формулу для s_cr

s_cr = (4.22)

или s_cr = ; (4.23)

где: λ_ef = ; i_ef = .

Если, деформация сжатия в процессе продольного изгиба растет или остается постоянной, т.е. разгрузка не происходит, то всё сечение находится в пластическом состоянии, характеризуемом касательным модулем деформации Е_t, тогда

s_cr = . (4.24)

Так как, на практике не существует идеально прямых стержней и идеальных условий центрального приложения силы N, то в практических расчетах вводится некоторый эквивалентный эксцентриситет сжимающей силы е_ef, который зависит от технологии изготовления, транспортировки, монтажа, решения узлов и т.д.

Поэтому, по I-му предельному состоянию устойчивость сжатого стержня будет обеспечена, если s = £ s_cr·γ_c. Умножив и поделив правую часть на R_y и введя обозначение

= φ, (4.25)

называемое коэффициентом устойчивости (продольного изгиба) получим

s = < φ·R_y·γ_c или < R_y·γ_c. (4.26)

Коэффициент φ имеет двойственную природу:

φ = = · = φ₁·φ₂, (4.27)

φ₁ зависит от гибкости и марки стали

φ₁ = , (4.28)

где - условная гибкость.

В упругой стадии Т = Е, значит φ₁ = .

Коэффициент φ₂ зависит от λ, а наименьшее его значение соответствует средней λ =100.

Коэффициент φ принимается по таблице 72 СНиП или подсчитывается по формулам 8, 9 или 10 СНиП

при 0 < £ 2.5 – φ = 1 – 0.066· · ; при 2.5 < £ 4.5 – φ = 1.46 – 0.34· + 0.021· 2; при > 4.5 – φ = .

(4.29)

При этом, для учета формы сечения, все стержни разделены на 3 группы:

5 КОНСТРУКЦИИ ИЗ ДЕРЕВА И ПЛАСТМАСС

Леса в странах СНГ занимают площадь 750 млн га, запасы древесины – 82 млрд м³. В Казахстане 47% лесных ресурсов сосредоточено в ВКО.

Преобладают хвойные породы: лиственница – 37%, сосна – 19%, ель и пихта – 20%, кедр – 8%, береза – 13%.

Положительные свойства древесины:

· высокая относительная прочность;

· химическая стойкость;

· восстанавливаемость;

· малая теплопроводность;

· хорошие акустические свойства;

· высокая долговечность;

· производственные достоинства;

· архитектурные достоинства.

К недостаткам древесины относятся:

· возгораемость;

· биологические повреждения;

· гигроскопичность, усушка и разбухание;

· неоднородность строения (анизотропия и пороки: сучки, косослой, свилеватость, сбежистость и др.).

Строение древесины

Деревянные строительные конструкции (ДСК) в основном изготавливаются из древесины хвойных пород (сосна, ель, лиственница), поэтому ограничимся рассмотрением анатомического строения древесины хвойных пород, которая отличается от древесины лиственных пород простотой и однообразием структуры.

Рисунок 5.1- Главные разрезы ствола (а); структура древесины (б)

На поперечном сечении ствола дерева различают следующие части (рисунок 5.1): под корой расположен тонкий слой камбия, отлагающего древесину и работающего с различной интенсивностью в зависимости от внешних условий. В растущем дереве камбий обусловливает прирост древесины и коры.

В центре сечения ствола расположена сердцевина, имеющая форму небольшого круглого пятнышка диаметром 3…5 мм.

Вся основная древесина (внутренняя зона) состоит из двух частей разного цветового оттенка: более темная называется ядром, светлая – заболонью. С возрастом размеры ядра увеличиваются за счет перехода части заболонной древесины в ядровую, а ширина заболони постепенно уменьшается. Выше по стволу процент площади заболони увеличивается.

На поперечном сечении имеются концентрические слои, окружающие сердцевину. Каждое такое кольцо представляет собой ежегодный прирост древесины и называется годичным слоем. Ширина годичного слоя зависит от возраста, породы, условий произрастания и положения на стволе.

Древесина имеет трубчато-волокнистое строение, она состоит из волокон. У хвойных пород они называются трахеидами – полые клетки сильно вытянутые в длину с заостренными концами. Они ориентированы вдоль ствола, поэтому прочность древесины вдоль и под углом к волокнам различна. Это явление называется анизотропией механических свойств. Например, прочность древесины вдоль волокон при растяжении σ_в0=1000 кг/см²; поперек волокон σ_в90=50 кгс/см².

Степень анизотропии n= σ_в0/ σ_в90=20

Таким образом, стыкование трахеид в продольном направлении, решаемое природой, является подсказкой решения стыка в растянутых клееных элементах («на ус»).

Только на основе глубокого анализа микроструктуры древесины можно раскрыть действительный характер и особенности механических свойств древесины как материала для строительных конструкций.

Влага в древесине

Влага в древесине делится на свободную (капиллярную) и связанную (гигроскопическую). Связанная влага пропитывает стенки клеточных оболочек, ее содержание колеблется от 0 до 30%. Максимальное количество связанной влаги называется пределом гигроскопичности или пределом насыщения волокон древесины и составляет 30%. Дальнейшее увеличение влажности происходит за счет свободной влаги, которая заполняет сосуды и поры.

Содержание свободной влаги не влияет на объем древесины. Удаление связанной влаги от 30% до 0% вызывает усушку (уменьшение объема), увеличение влажности от 0% до 30% вызывает увеличение объема (разбухание). Чем плотнее древесина, тем больше ее разбухание и усушка. Усушка и разбухание приводят к появлению внутренних напряжений, поэтому в крупных сортиментах (бревнах, брусьях) появляются усушечные трещины, а в тонких происходит коробление (доски) (рисунок 5.2).

Чтобы избежать коробления, разработаны специальные режимы сушки в сушильных камерах или на открытом воздухе.