И перпендикулярности двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости и общими уравнениями:

,

.

Под углом между плоскостями и понимается один из двугран­ных углов, образованных этими плоскостями.

Угол между нормальными векторами и плоскостей и равен одному из этих углов.

Поэтому угол можно найти как угол между нормалями плоскостей по известной формуле

или

. (4)

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости и перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормали, т. е. (и наоборот). Но тогда скалярное произведение нормалей равно нулю: , т. е.

. (5)

Полученное равенство есть условие перпендику­лярности двух плоскостей и .

Если плоскости и параллельны, то будут па­раллельны и их нормали и (и наоборот). Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны:

. (6)

Это и есть условие параллельности двух плоскостей и .

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана точка и плоскость своим уравнением . Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

. (7)

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки до прямой .