Модели световых импульсов

1) Характеристики импульсов

2) Типы импульсов

3) Генерация импульсов с шумовым заполнением

1.

Модели световых импульсов.Для описания импульсов, наряду с комплексной амплитудой А₀(t), пользуются также действительными огибающей ρ₀(t) и фазой φ₀(t):

А₀(t) = ρ₀(t) e^{iφ (t)}. (1)

Обратимся сначала к детерминированным импульсам. В общем случае длительность импульса удобно определять как среднеквадратичную:

= ^1/2 , (2)

где

, n = 1, 2, 3, …, (3.1)

(3.2)

– энергия импульса. Подобным образом в общем виде определяется ширина спектра импульса:

, (4)

где

, n = 1, 2, 3, …, (5.1)

= (5.2)

– спектральная плотность импульса. Длительность импульса и ширина спектра связаны соотношением

τ_ск∆ω_ск = К ≥ 1/2. (6)

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных импульсов.

2.

а) Спектрально-ограниченный импульс. Речь идет об импульсе, длительность которого τ_ск полностью определяется обратным значением ширины ∆ω_ск его спектра. В этом случае отсутствует фазовая (частотная) модуляция (φ₀(t) ≡ 0, А₀(t) = ρ₀(t)). Для спектрально-ограниченных импульсов постоянная К~1; ее значение зависит от формы огибающей.

Чаще всего рассматривают импульсы с огибающими вида

1) ρ₀(t) = ρ₀ exp (– t²/2τ ). – гауссовский импульс (7)

2) ρ₀(t) = sech (t/τ₀) (8)

Для гауссовкого импульса (7) величина К = 1/2 . во всех других случаях К ≥ 1/2; так, например, для импульса (8) К = π/6. Для гладких импульсов можно и не прибегать к интегральным определениям длительностей. В случае гауссовского импульса длительность по уровню е^-1 от максимальной интенсивности равна τ₀ = . Значение τ₀ связано с длительностью по полувысоте τ_1/2 соотношением τ_1/2 = 2 . Имея в виду приведенные соотношения, величину τ₀ будем называть в дальнейшем просто длительностью импульса. Для гауссовского импульса

τ₀∆ω₀ = 2, τ_1/2∆ω_1/2 = 4ln2, (9)

где ∆ω₀ и ∆ω_1/2 – ширина спектров по уровням, соответствующим различным определениям длительности.

б) Фазово-модулированный импульс. Фаза φ₀(t) может быть сложной детерминированной либо случайной функцией. Ширина спектра фазово-модулированного (ФМ) импульса ∆ω может значительно превышать ширину спектра спектрально-ограниченного импульса: τ₀∆ω

В дальнейшем особое значение будут иметь импульсы, у которых фаза изменяется со временем по квадратичному закону

φ₀(t)=–α₀t²/2. (10)

Тогда изменения мгновенной частоты линейно по t:

δω(t) = ω(t) – ω₀ = dφ₀(t)/dt = – α₀t (11)

Для частотной модуляции (ЧМ) вида (11) при гауссовской форме огибающей (7) ширина спектра импульса

= ∆ , (12)

В последнем соотношении учтено (9). Частотно-модулированные световые импульсы часто называют чирпированным (от английского слова – chirp); ЧМ вида (11) соответствует линейному чирпу.

в) Супергауссовский импульс. Наряду с (7) и (8) для анализа распространения и преобразования сверхкоротких импульсов используются и другие модели. Среди них следует выделить близкий по форме к прямоугольному супергауссовский импульс

А₀(t) = ρ₀ exp , (13)

. Импульс (13) характерен для излучения полупроводниковых лазеров. С ростом параметра m его форма приближается к прямоугольной, однако длительность по уровню е^-1 не зависит от m. Изменение частоты супергауссовского импульса

δω(t) = – mαt^2m-1, (14)

наибольшее на фронте и хвосте. Среднеквадратичная длительность

(15)

Для гауссовского импульса q(1) = 1/ , а для супергауссовского при m→∞ параметр q→1 и τ_ск → τ₀; Г(х) – гамма-функция.

3.

Импульс с шумовым заполнением.Нелазерные источники, а в ряде случаев и многомодовые лазеры, генерируют, по существу, вспышки оптического шума, комплексную амплитуду которых можно записать в виде

А₀(t)=F(t)ξ(t). (16)

Функция F(t) соответствует регулярному импульсу, который может быть либо спектрально-ограниченным, либо фазово-модулированным; ξ(t) – случайный процесс, в общем виде ξ(t) – комплексная функция. Случайный процесс ξ(t) в ряде случаев можно считать стационарным с корреляционной функцией

< ξ(t) ξ* (t + τ) > = σ²R(t), (17)

где σ² – дисперсия шума.

Если речь идет о “вспышках” многомодового лазерного излучения с несинхронизованными модами, процесс ξ(t) записывается в виде

ξ(t) = , (18)

где n – номер моды, ρ_n – амплитуда моды, Ω – частота межмодовых биений. Фазы мод φ_n статистически независимы с равномерным распределением на интервале [–π, π]. При достаточно большом числе мод N статистика процесса (18) с дискретным спектром близка к гауссовской.