Описание установки и метода измерений

Физическим маятником является любое реальное тело (рис. 10.4), закрепленное на оси О, не проходящей через его центр масс С. Чтобы понять, как движется физический маятник, надо записать для него основной закон динамики вращательного движения (II закон Ньютона для вращательного движения)

, (10.13)

где М – момент силы, действующий на маятник, I – момент инерции маятника относительно оси вращения, e – его угловое ускорение. Когда маятник отклонен от положения равновесия на угол a, его силу тяжести , приложенную в центре масс С, можно разложить на две составляющие: , направленную вдоль прямой ОС, и , перпендикулярную к ней. Составляющая силы тяжести создает момент, возвращающий маятник в положение равновесия. Из рисунка видно, что , а ее плечо равно – расстоянию от оси вращения до центра масс. Следовательно, момент силы относительно оси вращения равен

. (10.14)

Подставив (10.14) в (10.13) получают II закон Ньютона для маятника в виде

, (10.15)

где m – масса маятника, g – ускорение свободного падения, знак ²–² показывает, что момент силы возвращает маятник в положение равновесия.

Так как синусы (и тангенсы) малых углов примерно равны самим углам в радианах (т. е. sina = a), а угловое ускорение равно второй производной от угла отклонения по времени (т. е. ), то при малых отклонениях (10.15) принимает вид

. (10.16)

В (10.16) все величины, кроме угла a, постоянны, поэтому можно ввести обозначение

(10.17)

и записать (10.17) в виде

. (10.18)

Решив дифференциальное уравнение (10.186), находят, что угол отклонения маятника от положения равновесия a является следующей функцией времени (в этом можно убедиться путем подстановки):

. (10.19)

Итак, при малых углах отклонения маятник движется по закону косинуса (или синуса), другими словами, маятник совершает гармоническое колебательное движение. Анализ уравнения (10.19) показывает, что a_max и j₀ – амплитуда и начальная фаза колебаний, а w₀ – циклическая частота, связанная с периодом колебаний соотношением

, (10.20)

откуда с учетом (10.17)

. (10.21)

С помощью формулы (10.21) можно определить ускорение свободного падения, если известен момент инерции маятника относительно оси вращения.

Момент инерции маятника I относительно оси О можно представить с помощью теоремы Штейнера

, (10.22)

где – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс С параллельно оси О.

С учетом (10.22) формула (10.21) принимает вид

. (10.23)

Массу маятника и период его колебаний можно измерить на опыте с очень высокой точностью, но точно измерить момент инерции не удается. Для того, чтобы исключить из формулы для определения g, пользуются оборотным маятником. В настоящей работе оборотный маятник (рис. 10.5) представляет собой массивный стержень 1, на котором закреплены два груза 2, 3 и две трехгранные призмы О₁ и О₂, из которых одна неподвижна, а другая может перемещаться вдоль стержня. Острые ребра призм, помещаемые попеременно на неподвижную опору, служат осями качаний маятника. Для каждой из осей колебаний маятника можно записать (10.23)

,

, (10.24)

где – расстояние от оси О₁ до центра масс маятника, – расстояние от оси вращения О₂ до центра масс маятника.

Исключив из системы (10.24), находят формулу для расчета ускорения свободного падения

. (10.25)

Все величины в (10.25) легко измеряются на опыте. Периоды колебаний находят по (10.12), определив время 20–30 полных колебаний. Для определения и маятник снимают с консоли и располагают на специальной подставке, имеющей острую грань. Перемещая маятник, нетрудно найти положение центра масс. Расстояние от него до опорных призм и есть искомые и . Если и достаточно сильно отличаются друг от друга, а периоды и , наоборот, близки, то для получения достаточно точного значения g нет необходимости определять и с высокой точностью.