По правилу дифференцирования сложных функций находим

;

;

.

Подставляя найденные значения производных в уравнение (7.14), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

, (7.15)

которое должно быть проинтегрировано по условиям (7.13)

Для решения (7.15) обозначим , тогда уравнение (7.15) принимает вид

. (7.20)

Разделяя переменные в (7.20) и интегрируя, получаем

, (7.21)

где С₁ – постоянная интегрирования.

Интегрируя (7.21), будем иметь

- по первому условию из (7.13).

Второе условие из (7.13) дает

.

Из интегрального исчисления известно, что

- интеграл Пуассона;

поэтому , а . (7.22)

Интеграл в (7.22) называется интегралом вероятности и является табулированной функцией, изменяющейся в пределах от 0 до 1:

- интеграл вероятности или функция

Крампа (график функции представлен на рис.42)

Рис. 42

Таким образом

.

Тогда закон распределения давления в неустановившемся прямолинейно-параллельном потоке упругой жидкости имеет вид

. (7.23)

Зная х и t, определяем значение , а затем из таблиц или из графика находим и находим по формуле (7.23) значение давления Р.

Распределение давления Р(х,t) показано на рис.43.

Рис. 43

Найдем дебит Q галереи.

Будем считать положительным дебит, отбираемый из галереи (х=0), когда поток движется против оси х.

Согласно закону Дарси, имеем

,

где В, h – соответственно ширина и толщина пласта.

Дифференцируя выражение (7.23), получаем

.