Приближенное решение задачи об отборе газа из замкнутого пласта

Рассмотрим задачу об отборе газа из замкнутой круговой залежи радиусом R_К . В центре залежи находится скважина радиусом r_С . До вскрытия пласта скважиной давление во всей залежи было Р_К .

Рассмотрим две задачи:

1) отбор газа с постоянным дебитом (Q_АТ = const);

2) отбор газа с сохранением давления на скважине (P_C = const).

В первой задаче нас интересует падение давления на границе пласта и на забое скважин .

Во второй задаче – падение давления на границе и падение дебита Q(t) .

Обе задачи решаем методом ПССС, т.е. с применением законов стационарной фильтрации газа и уравнения истощения газовой залежи. Это уравнение – уравнение материального баланса – заключается в том, что количество газа, извлеченного из пласта за некоторый промежуток времени, равно уменьшению запасов газа в пласте. Так как пласт замкнут, то запасы ограничены и не пополняются извне.

Выведем это уравнение.

Если - плотность идеального газа, соответствующая усредненному давлению в пласте ; V_пор - объем порового пространства пласта, принимаемый постоянным; то уменьшение запасов газа за бесконечно малый промежуток времени запишется в виде

. (8.28)

Отобранная масса газа за тот же промежуток времени будет равна

. (8.29)

Приравнивая (8.28) и (8.29), получим дифференциальное уравнение истощения газовой залежи

. (8.30)

Ранее было показано, что средневзвешенное давление при плоскорадиальной фильтрации газа мало отличается от контурного Р_К (в нашем случае Р_К – давление на границе замкнутого пласта). Поэтому можно принять и заменяем в (8.30) на :

(8.31)

Теперь рассмотрим случай первый: Q_AT = const .

При этом

. (8.32)

Интегрируем это уравнение, учитывая, что при t = 0 Р = Р_Н ; получаем

, (8.33)

т. е. давление на границе пласта меняется по линейному закону с течением времени (рис.54).

Для определения закона изменения забойного давления с течением времени, запишем формулу для дебита скважины

(8.34)

и выразим из нее забойное давление

. (8.35)

Отсюда с учетом выражения (8.33) для Р_К находим

. (8.36)

График изменения Р_С (t) по (8.36) показан на рис.54.

Рис. 54 Рис. 55

Рассмотрим второй случай: Р_С = const .

Для определения зависимости Р_К от t представим выражение для дебита (8.34) в уравнение (8.31) и разделим переменные

.

Обозначим и интегрируя от 0 до t и от Р_Н до Р_К , получим

,

откуда

. (8.37)

Задаваясь различными значениями давления Р_К на границе залежи, начиная от Р_Н и меньшими, можно найти соответствующие значения времени разработки залежи. Подставляя заданные значения Р_К в формулу (8.34), определяем дебиты в эти же моменты времени t. Графики Р_К(t) и Q_AT(t) для этого случая приведены на рис.55.