Получение двухмерного дискретного аналога
Сначала найдем аппроксимацию двухмерного уравнения, затем ту же процедуру применим и к трехмерному случаю. Рассмотрим контрольный объем (рис. 5.8). Используя опыт, приобретенный при анализе одномерной задачи для получения суммарного теплового потока Je, и предположив, что найденное выражение применимо ко всей грани КО площадью Dy*1, сможем сразу записать дискретный аналог для двухмерной задачи.
Рис 5.8 КО (заштрихованная область) для двухмерного случая | При рассмотрении одномерного случая было, показано, что aP=aE+aW только тогда, когда удовлетворено уравнение неразрывности. Таким образом, правило относительно суммы соседних коэффициентов (правило 4) может быть удовлетворено только тогда, когда в рассмотрение включено уравнение неразрывности. Уравнение (5.12) в двухмерной форме можно представить в виде , |
где Jx и Jy - суммарные (конвекция плюс диффузия) потоки, определенные следующим образом:
и ,
где u, v - компоненты скорости в направлениях осей x и y.
Когда заданные поля скорости и плотности удовлетворяют дискретному аналогу уравнения неразрывности – проблем нет. Однако когда заданные поля не удовлетворяют уравнению неразрывности, то разные способы записи приводят к разным решениям.
В каком случае можно встретиться с полями течения, которые не удовлетворяют уравнению неразрывности? Такая возможность появляется, поскольку часто поле течения не является действительно заданным, а рассчитывается итерационным методом точно так же, как и зависящий от T коэффициент теплопроводности в задаче теплопроводности.
Перед тем как достигается окончательная сходимость, приближенные поля течения на промежуточных итерациях могут не удовлетворять уравнению неразрывности. По этой причине необходимо специально заботиться о соблюдении правила 4.
Двухмерный дискретный аналог можно записать в следующем виде
, (5.13)
где , ,
, ,
,
, .
Здесь ФP0 н rP0 обозначают известные значения для времени t, а все другие величины (ФP, ФE, ФW, ФN, ФS и т.д.) представляют собой неизвестные величины для времени t+Dt. Массовые расходы Fe, Fw, Fn, и Fs определены уравнениями
, , , (5.14)
Соответствующие проводимости представим в виде
, ,
, (5.15)
а числа Пекле
, , , (5.16)
Функцию A(|P|) можно взять из таблицы 5.1 соответственно выбранной схеме.
Следует отметить, что даже на этой стадии физический смысл различных коэффициентов в (5.13) понятен. Коэффициенты в соседних точках aE, aW, aN и aS учитывают влияние конвекции и диффузии для четырех граней КО, которые зависят от массового расхода F и проводимости D. Член aP0ФP0 характеризует известную величину Ф для КО (для времени t), отнесенную к шагу по времени. Оставшиеся члены, можно интерпретировать аналогичным образом.
Дата добавления: 2021-02-19; просмотров: 251;