Смысл схемы с разностями против потока.

Попытаемся решить задачу, показанную на рис. 5.12,б с помощью схемы с разностями против потока для двух ориентации разностной сетки.

1. Однородный поток в направлении оси x. Рассмотрим случай, показанный на рис. 5.13. Поток направлен строго вдоль оси x, и левая граница имеет известный температурный профиль со скачком.

Поскольку Г=0 и в направлении оси y течение отсутствует, коэффициенты a_N и a_S будут равны нулю. Коэффициент a_E в близлежащей вниз по потоку соседней точке также должен быть равен нулю. Таким образом, a_P должно равняться a_W, что приведет к

Ф_P=Ф_W

Рис 5.13. Случай потока, направленного вдоль оси x: 1 ‑ горячий поток; 2 ‑ холодный поток

В результате данные значения вверх по потоку будут устанавливаться во всех точках вдоль каждой горизонтальной линии. Следовательно, скачкообразный характер профиля температуры, имеющий место в сечениях вверх по потоку, будет сохранен. Поэтому в этом случае искусственная диффузия не появляется.

2. Равномерный поток, направленный под углом 45° к узловым линиям сетки. Для удобства используем равномерную сетку с Dx=Dy. Скорости потока в направлениях осей x и y равны. Результатом этого является равенство коэффициентов a_W и a_S в соседних близлежащих точках вверх по потоку, в то время как значения a_E и a_N в точках вниз по потоку оказываются равными нулю. Таким образом, имеем

Для сетки, показанной на рис. 5.14, разрыв профиля температуры обеспечивается равенством всех температур 100 вдоль левой и 0 вдоль нижней границ. Результат решения во внутренних точках записан около каждой узловой точки. Если схемная искусственная диффузия отсутствует, то сверху от диагонали, направленной из нижнего левого угла, должны получиться значения 100 и значения 0 вниз от диагонали. Фактическое решение дает неточный профиль температуры, подобный тому, какой изображен на рис. 5.12, а.

Замечания.

1. Искусственная диффузия сказывается когда поток наклонен по отношению к линии сетки и существует ненулевой градиент зависимой переменной в направлении нормали к потоку.

Рис 5.14 Случай потока, направленного под углом 45° к сеточным линиям:

1 ‑ горячий поток; 2 ‑ холодный поток

2. Приближенное выражение для коэффициента искусственной диффузии в двухмерном случае можно записать в виде Г_иск

,

где U – модуль вектора скорости,

θ – угол наклона (от 0º до 90º) вектора скорости к направлению оси x.

Если θ=0º или θ=90º, то Г_иск =0; когда θ=45° Г_иск является максимальной.

3. Вклад искусственной диффузии можно уменьшить, используя меньше шаги Dx и Dy и располагая сетку (если это возможно) так, чтобы сеточные линии более или менее совпадали с направлением потока.

4. Поскольку реальная диффузия имеет место во многих задачах, то достаточно сделать искусственную диффузию малой по сравнению с реальной.

5. Использование центрально-разностной схемы не является средством избавления от искусственной диффузии. Как упоминалось ранее, центрально-разностная схема дает совершенно нереальные решения, если рассматриваются большие числа Пекле.

6. Основной причиной возникновения искусственной схемной диффузии является практика обращения с потоком через каждую грань как с локально одномерным. Для случае показанного на рис. 5.14, значение Ф переносимое наклонным потоком к узловой точке Р, на самом деле приходит из угловой узловой точки SW. Однако этот перенос представляется как действие двух отдельных потоков поступающих из S и W.

7. Для уменьшения вклада искусственной диффузии схемы должны учитывать многомерную природу потока. Это возможно в случае треугольной сетки.