Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,
("а, b Î Q+) а + b= b + а;
("а, b, с Î Q+) (а + b)+ с = а + (b+ с)
Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка Х выражается дробью
при единице длины Е, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы Е1 и выражается дробью 
. Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длины Е1?
Так как Х=
Е, то nХ=mЕ, а из того, что Е = 
Е1 следует, что qЕ=рЕ1. Умножим первое полученное равенство на q, а второе – на m. Тогда (nq)Х = (mq)Е и (mq )Е= (mр)Е1, откуда (nq)X= (mр)Е1. Это равенство показывает, что длина отрезка х при единице длины выражается дробью 
, азначит, 
= 
, т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.
Определение.Если положительное число а представлено дробью
, а положительное рациональное число b дробью 
, то их произведением называется число а b , которое представляется дробью 
.
Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания.Доказательство этих свойств основываетсяна определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.
Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множествеQ+.
Определение. Пусть а иb - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с.
В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а, а> b.
Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.
1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством.
2. Если рациональные числа а и b представлены дробями 
и 
(т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда m < р.
3. Если рациональные числа а и b представлены дробями
и 
(т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда т q < nр.
4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.
5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q+.
6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.
Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а - b = с тогда и только тогда, когда а = b + с.
Разность а - b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна.
Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел,представленных дробями 
и 
, где т < р : 
/
Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а:b=с тогда и только тогда, когда а = bс.
Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями
и 
: 
.
Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.
Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 411;
Поиск по сайту
Узнать еще
- Аксиоматическое определение множества действительных чисел
- Алгебраические основы теории чисел.
- Алгебраическое представление двоичных чисел
- Алгебраическое сложение/вычитание чисел в прямом коде
- Алгоритм Евклида (отыскания НОД 2-х чисел)
- Алфавитное сложение (шифр Хасегава)
- Асимптотический закон распределения простых чисел.
- Б) Формы записи комплексных чисел.
Публикации по технике и механике
Публикации по биологии
Публикации по информатике
Публикации по строительству
Публикации по физике
Публикации по химии
Публикации по электронике
Публикации по искусству
Публикации по истории
Публикации по медицине
