Положительные рациональные числа

<71 72 737475 76 77 >

Отношение равенства является отношением эквивалентностинамножестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные междусобой дроби.

Например, множество дробей - это один класс, множество дробей это другой класс и т.д.

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби - это различные записи одного и того же положительного рационального числа.

Определение.Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Например, о дроби мы должны говорить, чтоона является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят : - это рациональное число

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q₊. Определим на этом множестве отношение равенства.

Определение.Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b другой дробью , то а = b тогда и только тогда, когда тq = пр.

Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем). Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числитель m и знаменатель n разделить на их наибольший общий делитель.

Выясним теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами.

Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка х выражается дробью , а длина отрезка у - дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n-ая часть отрезка е укладывается в отрезке z m+р раз,т.е. длина отрезка z выражается дробью . Поэтому полагают, что += .

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - дробью ,то их суммой называется число а + b, которое представляется дробью , т.е. + = (1)

Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

<71 72 737475 76 77 >

Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 445;

Положительные рациональные числа

Публикации по технике и механике

Публикации по биологии

Публикации по информатике

Публикации по строительству

Публикации по физике

Публикации по химии

Публикации по электронике

Публикации по искусству

Публикации по географии

Публикации по медицине

Публикации по педагогике