Свойства операции нахождения декартова произведения

1) Так как декартовы произведения А´B и В´А состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.

2) Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности.

3) Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С), (A \ B) ´ С = (A ´ С) \ (B ´ С).

Пример

Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова произведения относительно объединения, если: А = {3; 4; 5}, В = {5; 7}, С = {7; 8}.

Решение. Найдем объединение множеств А и В: AÈB = {3; 4; 5;7}. Далее перечислим элементы множества (AÈB) ´ С, используя определение декартова произведения: (AÈB) ´ С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Чтобы найти элементы множества (A ´ С) È (B ´ С), перечислим сначала элементы множеств А ´ С и В ´ С:

А ´ С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)}

В ´ С = {(5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Найдем объединение полученных декартовых произведений:

(A ´ С) È (B ´ С) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Видим, что множества (AÈB) ´ С и (A ´ С) È (B ´ С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С).

Выясним теперь, как можнонаглядно представить декартово произведение множеств.

· Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи таблицы или графа.

Пример

1·   2·   3·

·3     ·5

Рис. 2

Декартово произведение множеств А = {1; 2; 3} и В = {3; 5} можно представить так, как показано на рисунке 1 и 2

 

 

	(1,3)	(1,5)
	(2,3)	(2,3)
	(3,3)	(3,3)

Рис. 1

· Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости.

Способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Пример

Изобразите на координатной плоскости декартово произведение A ´ В, если:

а) А = {1; 2; 3} и В = [3; 5];

б) А = [1; 3], В = [3; 5];

в) А = R, В = [3; 5];

г) А = R, В = R.

Решение

а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа о т 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение A ´ В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая – любое действительное число из промежутка [3; 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками.

у

 

1 2 3 х

б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой может быть любое число из промежутка [1; 3], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат. Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.

у

3

1 2 х

в) Этот случай отличается от предыдущих тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества A ´ В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3; 5]. Множество таких точек образует полосу.

y

 

х

г) Декартово произведение R´R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R´R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.